Coordonnées polaires - Définition et Explications

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Introduction

En coordonnées polaires, la position du point M est définie par la distance r et l'angle θ.
Un cercle découpé en angles mesurés en degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :)

Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées à deux dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...), dans lequel chaque point (Graphie) du plan est entièrement déterminé par un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et une distance. Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, voir par exemple le pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans...). Dans ce cas, le système des coordonnées cartésiennes, plus familier, impliquerait d’utiliser des formules trigonométriques pour exprimer une telle relation.

Comme il s’agit d’un système bidimensionnel, chaque point est déterminé par les coordonnées polaires, qui sont la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelée rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut (L’azimut est l'angle horizontal entre la direction d'un objet et une direction de référence.), et souvent notée t ou θ) exprime la mesure, dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) trigonométrique, de l’angle entre le point et la demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de celle-ci. Par exemple la...) d’angle 0°, appelé axe polaire (équivalent à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes).

Histoire

Le concept d’angle et de rayon était déjà utilisé lors du premier millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.) avant J.C. L’astronome Hipparque créa une table trigonométrique qui donnait la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de la corde pour chaque angle, et il utilisait les coordonnées polaires pour établir les positions des étoiles. Dans Des spirales, Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien : Ἀρχιμήδης/Arkhimếdês), né à Syracuse vers 287 av. J.-C....) étudia la spirale ((voir page de discussion)) d'Archimède, une fonction mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) dont le rayon dépend de l’angle. Cependant les grecs ne l’étendront pas à un système de coordonnées complet.

Il existe plusieurs versions de l’introduction des coordonnées polaires comme système de coordonnées formel. Grégoire de Saint-Vincent et Bonaventura Cavalieri ont indépendamment introduit ce concept dans le milieu du dix-septième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...). Saint-Vincent a écrit sur ce thème en 1625 et a publié son travail en 1647, pendant que Cavalieri publia ses écrits en 1635, une version corrigée vit le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons...) en 1653. Cavalieri a d’abord utilisé les coordonnées polaires pour résoudre un problème relatif à l’aire sous une spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle...) d'Archimède. Blaise Pascal (Blaise Pascal, né le 19 juin 1623 à Clairmont (aujourd'hui Clermont-Ferrand), en Auvergne et mort le 19 août 1662 à Paris, est un mathématicien, physicien, inventeur, philosophe,...) usait largement des coordonnées polaires pour calculer la longueur de paraboles.

Dans Méthode des Fluxions (écrit en 1671, publié en 1736) Sir Isaac Newton (Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre 1642 J – 20 mars 1727 J) est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste et astronome anglais....) étudia les transformations entre les coordonnées polaires, qu'il appelait "Seventh Manner; For Spirals", et neuf autres systèmes de coordonnées. Dans le journal Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilisa un système avec un point et une droite, appelés respectivement le pôle et l'axe polaire. Les coordonnées étaient déterminées par leur distance au pôle et leur angle par rapport à l'axe polaire. Le travail de Bernouilli utilisa même ce système pour déterminer le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins...) de courbes exprimées dans ce système.

Le terme actuel de coordonnées polaires a été attribué à Gregorio Fontana et a été utilisé par les écrivains italiens du XIIIe siècle. Le terme apparait en anglais pour la première fois dans la traduction de 1816 effectuée par George Peacock du Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.) de Sylvestre-François Lacroix. Alexis Clairaut fut le premier à penser à étendre les coordonnées polaires en trois dimensions, et Leonhard Euler (Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, est un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en...) a été le premier à vraiment les développer.

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