Coordonnées polaires - Définition

Nombre complexe

Une illustration du nombre complexe z placé dans le plan complexe

Une illustration d'un nombre complexe placé dans le plan complexe en utilisant la formule d'Euler

Chaque nombre complexe peut être représenté par un point dans le plan complexe, et de plus peut être exprimé par ses coordonnées cartésiennes (appelé forme algébrique du nombre complexe) ou par ses coordonnées polaires. La forme algébrique d'un nombre complexe z est de la forme :

z = x + iy

où x et y sont des réels et i est l'unité imaginaire. Sa forme polaire est (donnée par les formules données plus haut) :

z = r(cosθ + isinθ)

où r est un réel positif non nul et θ un réel. De là on en déduit :

z = re^iθ

ce qui est équivalent par formule d'Euler (à noter que toutes ces formules, à l'instar de toutes les autres utilisant l'exponentielle ou les angles, utilisent les radians). Pour convertir d'une forme à l'autre, les formules données plus haut conviennent).

L'addition de nombre complexe est plus aisée en forme algébrique mais la multiplication, la division et l'exponentiation sont plus faciles à réaliser en forme exponentielle (ou de manière équivalente en forme polaire) :

• Multiplication :

• Division :

• Exponentiation (formule de De Moivre) avec n entier :

Applications

Les coordonnées polaires sont bidimensionnelles et peuvent donc être uniquement utilisées dans les cas où les points sont dans un même plan. Elles sont plus appropriées dans tous les cas où le phénomène considéré est lié à une direction et une longueur d'un point central. Par exemple, les exemples de courbes polaires définies plus haut montrent comment on peut utiliser les coordonnées polaires pour produire des équations simples produisant ces courbes, comme la spirale d'Archimède. Ces mêmes équations en coordonnées cartésiennes seraient beaucoup plus compliquées. De plus, beaucoup d'études de systèmes physique, comme l'étude du pendule ou bien tout phénomène où des solides se meuvent autour d'un point central, sont simplifiées en passant en coordonnées polaires. L'introduction des coordonnées polaires s'est faite tout d'abord pour étudier les mouvements circulaires et les mouvements orbitaux.

Navigation

Les coordonnées polaires sont souvent utilisées en navigation. En effet, un voyage peut être défini par une distance et un angle par rapport à la destination. Par exemple, les aéronefs utilisent un système de coordonnées polaires quelque peu modifié pour la navigation.

Modélisation

Les coordonnées polaires conduisent à une simplification du modèle des systèmes naturels dans lequel un point central joue un rôle particulier. C'est notamment le cas des système possédant une symétrie radiale qui sont invariants par rotation autour d'un point fixe.

C'est le cas des systèmes dits à force centrale, c'est-à-dire soumis à une force qui passe par un point fixe. les exemples classiques comprennent le problème à deux corps en champs gravitationnels et les systèmes possédant un point source, comme les antennes radioélectriques.

C'est aussi le cas des mouvements de rotation autour d'un point fixe comme le pendule simple, des surfaces d'équilibres autour d'un puit comme l'équation de flux d'eau du sol ou de la variation d'une grandeur en fonction d'un angle comme les polaires en aéronautique ou la directivité d'un microphone, qui caractérise la sensibilité du microphone en fonction de la provenance du son selon l'axe central du microphone.

Ce phénomène peut être représenté par une courbe polaire. La courbe pour un microphone cardioïde standard, le plus commun des microphones, a pour équation r = (1 + sin θ) / 2.

Enfin, il existe des cas particuliers où le passage aux coordonnées polaires peut rendre service. Par exemple, la loi de Laplace-Gauss en statistique a une distribution qui n'est intégrable au moyen de fonctions élémentaires. Toutefois, en faisant tourner cette courbe autour de l'axe des y on obtient une cloche infinie qui, exprimée en coordonnées polaires, est intégrable. C'est de cette façon que Gauss a pu normaliser cette loi statistique dont Laplace avait montré l'universalité.