Lundi 28 Avril 2025
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Conduction thermique - Définition

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- Introduction - Généralités - Conduction en régime dynamique - Conduction en régime stationnaire

Conduction en régime stationnaire

On définit un régime permanent (ou stationnaire) quand les températures ne dépendent pas du temps. La température ne dépend plus que de la disposition du point où l'on effectue la mesure et plus du temps. Pour toute la suite de ce chapitre, nous supposerons un régime permanent établi.

Surface plane simple

Le matériau est un milieu thermiquement conducteur limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan a une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Profil de température dans un mur.

Notons T1 la température du plan situé à l'abscisse x1, et T2 la température du plan situé à l'abscisse x2. Notons e = x2 − x1 l'épaisseur du mur. En régime stationnaire, T est une fonction affine de x, d'où :

T = T_1 + \frac{x-x_1}{e}(T_2 - T_1)

La densité de flux thermique surfacique s'écrit :

\varphi= -\lambda \frac{dT}{dx} = \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2) .


Le flux thermique à travers une surface S vaut :

\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)

ou

\Phi = \frac{(T_1-T_2)}{\frac{e}{\lambda S}}
Analogie.

Analogie électrique

Par analogie avec l'électricité (loi d'Ohm) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique \varphi constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

U_1-U_2= RI\,
T_1-T_2= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,

Nous pouvons mettre en parallèle d'une part la tension et la température, d'autre part l'intensité et le flux thermique :

U_1-U_2 \leftrightarrow T_1-T_2,
I \leftrightarrow \Phi,

On peut définir alors une résistance thermique, jouant dans le transfert de chaleur un rôle comparable à la résistance électrique.

R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}\,

où S est la surface du matériaux et e son épaisseur. La résistance thermique Rthc est homogène à des K.W-1

Surfaces planes en série

Mur serie generalite.png

On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective eA, eB et eC et de conductivité radiative respective λA, λB et λC.

Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interface entre 2 matériaux est identique dans chaque matériau (Pas de saut de température au passage d'une interface).

Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique \varphi constant.

Les résistances thermiques s'additionnent :

T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi

Globalement, nous avons

T_1- T_4= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,

Si l'on décompose

Pour la couche A : T_1- T_2= \frac{e_A}{\lambda_A S} \Phi\,
pour la couche B : T_2- T_3= \frac{e_B}{\lambda_B S} \Phi\,
pour la couche C : T_3- T_4= \frac{e_C}{\lambda_C S} \Phi\,

Nota : Compte tenu des hypothèses, le flux (ou la densité de flux) reste constant.

Avec :

T_1- T_4= (T_1-T_2)+(T_2-T_3)+(T_3-T_4)\,

Donc

T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\,
T_1- T_4= (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi\,
 

Le profil des températures
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,

La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.

Mur serie gradient.png

Analogie électrique
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.

Mur serie analogie elec.png

Surfaces planes en parallèle

Mur parrallele.png

On considère des matériaux plans juxtaposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre. Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T1 et T2). Soit SA, SB et SC les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. règlementation thermique TH 2000)

Les conductances thermiques s'additionnent :

C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}

Pour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation

T_1- T_2= \frac{e_X}{\lambda_X S} \Phi\,

Avec en prenant l'analogie électrique

R_X= \frac{e_X}{\lambda_X S_X}\,

où X est égale à A, B ou C Nous avons donc

\Phi_A= \frac{T_1- T_2}{R_A}\,
\Phi_B= \frac{T_1- T_2}{R_B}\,
\Phi_C= \frac{T_1- T_2}{R_C}\,

Le flux total est égal à la somme des flux dans chaque élément

\Phi= \Phi_A+ \Phi_B+ \Phi_C\,
\Phi= (T_1- T_2) (\frac{1}{R_A}+ \frac{1}{R_B}+ \frac{1}{R_C})\,

Soit S la surface totale

S= S_A+ S_B+ S_C\,

Le flux surfacique s'écrit alors

\varphi=\frac{\Phi}{S}\,

Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique.

C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}
 

Analogie électrique

Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle.

Mur parrallele analogie elec.png
Mur parrallele analogie elec 2.png
I = (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}) \Delta U\, \Phi = (\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}) \Delta T\,

Surface cylindrique simple

Tube simple.png

Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La variation de température s'écrit :

\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}

Si l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors :

\Rightarrow \Phi= - \lambda S \frac{dT}{dR}\,

Variation de la température dans l'épaisseur du tube

Évolution de la température dans l'épaisseur d'un tube simple avec Tintérieure > Textérieure.

Soit S la surface d'un cylindre :

S= 2 \pi R L\,

Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme :

\Phi= - \lambda 2 \pi R L \frac{dT}{dR}\,
\frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L dT}{\Phi}\,
\int_{R_1}^{R_2} \frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} \int_{T_1}^{T} dT\,
\ln \frac{R_2}{R_1}= \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} (T_1-T)\,

La variation de température dans le matériau est donc

\ T= T_1 - \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R}{R_1}\,

Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est

\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,
 

Surfaces cylindriques concentriques

Schéma d'un tube concentrique.

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :

\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}

Évolution de la température dans la première couche :

\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_A L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,

Évolution de la température dans la deuxième couche :

\ T_2-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_B L } \ln \frac{R_3}{R_2}\,

Sur la totalité de l'épaisseur du tube :

\ T_1-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi L } \left ( \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A} + \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\right )\,

La résistance thermique de la couche A

\ R_{thA}= \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A}\,

La résistance thermique de la couche B

\ R_{thB}= \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\,

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :

\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}\,
 
Conduction en régime dynamique
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