Composé polyèdrique - Définition

Introduction

Un composé polyèdrique est un polyèdre qui est lui-même composé de plusieurs autres polyèdres partageant un centre commun, l'analogue tridimensionnel des composés polygonaux tel que l'hexagramme.

Les sommets voisins d'un composé peuvent être connectés pour former un polyèdre convexe appelé l'enveloppe convexe. Le composé est un facettage de l'enveloppe convexe.

Un autre polyèdre convexe est formé par le petit espace central commun à tous les membres du composé. Ce polyèdre peut être considéré comme le noyau pour un ensemble de stellations incluant ce composé. (Voir la Liste des modèles de polyèdre de Wenninger pour ces composés et plus de stellations.)

Composés réguliers

Un composé polyèdrique régulier peut être défini comme un composé qui, comme un polyèdre régulier, est de sommet uniforme, de face uniforme et de face uniforme. Avec cette définition, il existe 5 composés réguliers.

Composants	Image	Enveloppe convexe	Noyau	Symétrie	Dual
Composé de deux tétraèdres, ou octangle étoilé		Cube	Octaèdre	Oh	Autodual
Composé de cinq tétraèdres		Dodécaèdre	Icosaèdre	I	énantiomorphe, ou jumeaux chiraux
Composé de dix tétraèdres		Dodécaèdre	Icosaèdre	Ih	Autodual
Composé de cinq cubes		Dodécaèdre	Triacontaèdre rhombique	Ih	Composé de cinq octaèdres
Composé de cinq octaèdres		Icosidodécaèdre	Icosaèdre	Ih	Composé de cinq cubes

Le plus connu est le composé de deux tétraèdres, souvent appelé l'octangle étoilé, un nom donné par Kepler. Les sommets des deux tétraèdres définissent un cube et l'intersection des deux, un octaèdre, qui partage les mêmes faces planes que le composé. Ainsi, c'est une stellation de l'octaèdre.

L'octangle étoilé peut aussi être regardé comme un .

Le composé de cinq tétraèdres se décline en deux versions énantiomorphes, qui ensemble forment le composé de 10 tétraèdres. Chaque composé tétraédrique est autoadual, et le composé de 5 cubes et le dual du composé de 5 octaèdres.

Composés uniformes

En 1976, John Skilling publia Uniform Compounds of Uniform Polyhedra (Composés uniformes de polyèdres uniformes) qui énumére 75 composés (incluant 6 ensembles prismatiques infinis de composés, #20-#25) fait à partir de polyèdres uniformes avec une symétrie rotationnelle. (Chaque sommet est de sommet uniforme et chaque sommet est transitif avec chaque autre sommet). Cette liste inclut les cinq composés réguliers ci-dessus.

Voici une table imagée des 75 composés uniformes listée par Skilling. La plupart sont colorés par chaque élément polyèdrique. Certains, comme les paires chirales, sont colorés par symétrie des faces avec chaque polyèdre.

• 1-19 : Divers (4,5,6,9 et 17 sont les 5 composés réguliers)

• 20-25 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie dièdrique,

• 26-45 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie octaèdrique ou icosaèdrique,

• 46-67 : Symétrie tétraédrique incluse dans la symétrie octaèdrique ou icosaèdrique,

• 68-75 : paires énantiomorphes