Cinématique - Définition et Explications

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Mouvement simple

Le problème est donc ramené à trouver la fonction donnant la position sur la courbe en fonction du temps, soit s(t). On appelle diagramme horaire le graphe de [t,s(t)] : de tels diagrammes sont très utilisés pour les trains (par exemple en France, le CHAIX donne pour l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire...) les diagrammes horaires, ce qui permet de calculer les tableaux de correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels...) de transport (Le transport est le fait de porter quelque chose, ou quelqu'un, d'un lieu à un autre, le plus souvent en utilisant des véhicules et des voies de communications (la...) de gare (Une gare est d'ordinaire un lieu d'arrêt des trains. Une gare comprend diverses installations qui ont une double fonction :) en gare).

Mouvement rectiligne

Evolution de la position, de la vitesse (On distingue :) et de l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une...) d'un corps dans un mouvement rectiligne uniforme.

Le cas le plus simple est celui du mouvement rectiligne : la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) décrite est une droite.

Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Le mouvement est dit rectiligne uniforme si la vitesse v est constante ; cela correspond au mouvement d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) lancé dans l'espace hors de toute interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.), ou encore au mouvement d'un objet glissant sans frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.). On a : s = v \cdot t\,

L'abscisse curviligne est alors une fonction linéaire (Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples que l'on rencontre. Ce sont des cas particuliers...) du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).

Mouvement dans lequel tout segment reliant 2 points du solide reste parallèle à lui-même au cours du temps est aussi une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) classique du mouvement rectiligne uniforme.

En étude des vitesses, ce type de mouvement a une propriété fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.). Tous les points d'un solide en translation rectiligne uniforme ont le même vecteur vitesse.

On considère de plus qu'un solide immobile est en translation rectiligne uniforme : L'immobilité est un cas particulier du mouvement rectiligne uniforme.

Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)

Evolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un corps dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Le mouvement peut être rectiligne uniformément accéléré — MRUA — (on dit aussi rectiligne uniformément varié) ; le vecteur accélération \vec{a} est constant. Ceci correspond à la chute libre (sans frottement) d'un objet lâché avec une vitesse initiale nulle ou dirigée verticalement ; ou bien un mouvement sans frottement sur un plan incliné d'un mobile lâché avec une vitesse initiale nulle ou dirigée par la pente du plan incliné. On a l'accélération

a = \|\vec{a}\| = \frac{\mathrm d v}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2}

qui est constante, soit :

v = \|\vec{v}\| = a \cdot t + v_0

v0 est la vitesse à t = 0 (elle est nulle si l'objet est lâché sans vitesse initiale), et

x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0

(on prend x0 = 0 à t = 0). La vitesse est une fonction linéaire du temps, et l'abscisse curviligne est une fonction parabolique du temps.

Dans le cas de la chute d'un corps, a = − g, où g est l'accélération de la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné tous les corps libres...) au lieu considéré.

Le temps nécessaire au solide pour atteindre une position, se calcule en fonction de l'accélération et en fonction des conditions initiales.

Exemple

Prenons une fusée (Fusée peut faire référence à :) dont la position x varie à chaque instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) t ; elle suit une trajectoire rectiligne AB. Elle subit une accélération a de 6 m·s-2, et on prend x = 0 et v = 0 à t = 0.

Si sa vitesse était constante, on aurait

x= v·t.

Mais comme la fusée a une accélération continue, il faut utiliser

x = 1/2·a·t 2.

Donc, après 5 secondes de vol depuis A, la fusée est à (6/2)·(5²) = 75 mètres de A. Maintenant pour connaître sa vitesse, on calcule

v = a·t.

Donc si la fusée est en vol depuis 5 secondes, sa vitesse est de 30 m·s-1.

Mouvement circulaire

Le centre d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant...) du mobile décrit un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...). Cela peut être un mobile contraint à suivre cette trajectoire comme par exemple une bille dans une gouttière circulaire, un pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les...) à fil dont le fil reste tendu, ou un train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons (pour transporter des...) sur un rail (Un rail (ou lisse en québécois) est une barre d’acier profilée. Deux files parallèles de rails mis bout à bout forment une voie ferrée. Ils reposent alors généralement sur des traverses...) circulaire.

Le mouvement est dit circulaire uniforme si la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le...) v\, de la vitesse est constante. L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) horaire est alors du type

\left\{\begin{matrix} x = x_C + r \cdot \cos (\omega t) \\ y = y_C + r \cdot \sin (\omega t) \end{matrix}\right.

où (xC, yC) sont les coordonnées du centre du cercle, r est le rayon du cercle et ω est la vitesse angulaire du centre d'inertie du mobile, exprimée en radian (Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée d'angle plan du système international (SI).) par seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle...). On a :

v = r\omega \,

Le vecteur vitesse est tangent au cercle ; on a :

s = vt = r\omega t\,

On voit aussi que l'accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle (on parle d’accélération centrale centripète), et sa norme vaut

a = \frac{v^2}{r}

Ceci explique que lorsque l'on tourne en voiture, plus le virage est serré (r est faible), plus l'accélération est importante.

mouvement circulaire uniforme : la vitesse est tangentielle et l'accélération est centripète — l'accélération et la vitesse n'étant pas homogènes, on utilise une échelle différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à...) pour ces deux types de vecteur

Dans le repère de Frenet, on a :

\vec{v} = \begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix}
\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\  v^2 / r \end{pmatrix}

Le mouvement du pendule à fil ou d'une bille dans une gouttière est circulaire mais pas uniforme.

Mouvement elliptique

Le centre d'inertie du mobile décrit une ellipse (le mouvement circulaire est un cas particulier du mouvement elliptique). Cela peut être le mouvement d'une voiture sur une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...) suivant un arc d'ellipse, ou bien celui d'un satellite (Satellite peut faire référence à :) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) d'une planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour...) dans un référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement de translation rectiligne...) dans lequel la planète est fixe, ou encore le mouvement d'une planète ou d'une comète (En astronomie, une comète est un petit astre brillant constitué de glace et de poussière du système solaire, dont l'orbite a généralement la forme d'une ellipse...) autour d'une étoile ; l'objet le plus massif (Le mot massif peut être employé comme :) est alors à un des foyers de l'ellipse.

On définit la vitesse aréolaire comme étant l'aire balayée par un rayon joignant le foyer au centre d'inertie du mobile.

Dans le cas des mouvement orbitaux, le moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) \vec{L_f} par rapport à un foyer ƒ est constant (ceci peut se déduire du principe de conservation du moment cinétique d'un système isolé) :

\vec{L_f} = \vec{r} \wedge \vec{p}

  • \vec{r} est le vecteur reliant le foyer au mobile ;
  • \vec{p} = m \cdot \vec{v} est la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui...) du mobile (m est la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de...), \vec{v} le vecteur vitesse)
  • \wedge désigne le produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois. Le formalisme utilisé...).
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