Cinématique - Définition et Explications

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Mouvement quelconque

Pour considérer les mouvement quelconques, on peut travailler de deux manières :

  • considérer localement la tangente au mouvement, et utiliser les notions développées avec les trajectoires rectilignes uniformes
  • considérer localement que l'on a un mouvement circulaire uniforme.

Ces deux approximations sont valables si l'on considère des temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) courts.

Approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être...) tangentielle

En général, le mouvement du centre d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur une droite à...) d'un mobile est enregistré de manière échantillonnée, c'est-à-dire que l'on a des points discrets correspondant à des position à des instants séparés d'une durée δt. Si l'on considère trois points consécutifs M1, M2 et M3, correspondant à des instants t1 − δt,t1 et t1 + δt.

La première approximation consiste à dire que la tangente en M2 est parallèle à la corde [M1M3]. Ceci est légitimé par un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) mathématique disant que pour une fonction continue et dérivable sur un intervalle, il existe un point (Graphie) de cet intervalle dont la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément,...) vaut la pente entre les points extrêmes de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...) sur cet intervalle (voir Théorème des accroissements finis). On peut aussi rapprocher cela du fait que sur un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....), la médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant...) d'une corde passe par le milieu de la corde et est perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin...) à la tangente au milieu de la corde (puisque c'est un rayon).

La deuxième approximation consiste à estimer la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus...) de la vitesse (On distingue :) constante entre M1 et M3, ce qui est acceptable si la durée est petite par rapport à l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est...) tangentielle. On estime donc que l'on a

v(t_1) = \frac{s_3 - s_1}{2\delta t} \,

La variation de ce vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) vitesse donne le vecteur accélération. La composante tangentielle vaut :

a_x = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}

ou par approximation

a_x = \frac{v_x (t_1 + \delta t) - v_x (t)}{\delta t} = \frac{v(t_1 + \delta t) - v(t)}{\delta t}

en effet, dans le repère de Frenet, on a vx(t) = v(t), et on fait l'approximation vx(t + δt) = v(t + δt) (approximation d'ordre 0). La composante normale est donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un...) par la variation de direction du vecteur vitesse ; on a vy(t1) = 0 par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du repère de Frenet, soit

a_y = \frac{v_y (t_1 + \delta t)}{\delta t}

(approximation d'ordre 1, puisque l'ordre 0 est nul).

détermination de la vitesse et de l'accélération à partir d'un relevé des positions à des instants séparés de δt

Dans le cas où le mouvement est lent par rapport à la précision de la mesure, la position enregistrée va avoir des variations dues aux incertitudes de mesure ; ainsi, au lieu d'avoir une courbe lisse, on va avoir une courbe présentant des oscillations (du bruit). Si l'on prend les points tels quels, on va calculer des vitesses instantanées incohérentes qui vont se répercuter sur les calculs des accélérations. Si les données sont traitées de manière informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport...), on effectue donc un lissage des données.

Rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :)

choisissons sur une courbe (C) un point M comme origine, et désignons par M(t) la position du mobile à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être...) t et par s = MM l'abscisse curviligne du point M.

\vec{v}=v.\vec{t}

On définit en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point le rayon de courbure ρ de la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.), par :

\rho =\frac {\mathrm ds}{\mathrm d\theta}\,\!

où dθ est l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) formé entre les deux vecteurs vitesse aux points M(t) et M'(t+dt).

Exemple

Dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}), considérons le mouvement d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) horaire :

x = 1 + cos 2t et y = sin 2t

le vecteur position s'écrit

 \vec{r} = x \cdot \vec{i} +y \cdot \vec{j }= (1+ \cos 2t)\cdot \vec{i}+ (\sin 2t)\cdot \vec{j}

le vecteur vitesse s'écrit

\vec{v} = \frac{\mathrm d \vec{r}}{\mathrm dt} = - 2 \sin 2t \cdot \vec{i} + 2\ cos 2t \cdot \vec{j}

le module du vecteur vitesse est

 \|v\| = 2, c'est une constante.

L'accélération tangentielle est

 a_t = \frac{\mathrm d\|v\|}{\mathrm dt} = 0.

Le vecteur accélération totale est :

 a = (-4 \cos 2t)\cdot \vec{i} + (-4 \sin 2t)\cdot \vec{j}

son module est

 \|a\| = 4, c'est une constante.

Les accélérations totale, tangentielle et normale forment un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée...) rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) ayant l'accélération totale pour hypoténuse ; alors d'après le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui...) on a : a2 = a2 + a2 ce qui donne que

a = 4

Or on a :

\rho = \frac{v^2}{a_n}\,

donc

ρ = 1, c'est une constante

donc cette courbe n'est autre qu'un cercle.

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