Carré - Définition

Introduction

Un carré.

Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Le carré possède de nombreuses propriétés de symétrie et de régularité. Tout carré a quatre axes de symétrie et est invariant par des rotations d'angle droit. Deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires, de même que ses diagonales. Ces propriétés sont connues depuis la plus haute Antiquité. Les premières représentations du carré datent de la préhistoire. Il est, avec le cercle, l'une des figures géométriques remarquables les plus étudiées depuis l'Antiquité, le problème de la quadrature du cercle ayant tenu en haleine de nombreux mathématiciens pendant deux millénaires.

Le « carré d'un nombre » désigne également le produit de ce nombre par lui-même. Il est noté a × a = a² et se lit « a au carré » ou « a carré ». Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre étant vu comme la surface d'un carré de côté le nombre initial.

Propriétés

Un carré est à la fois un losange et un rectangle, il possède donc les propriétés de ces deux quadrilatères. Il peut également être vu comme un polygone régulier, ce qui permet de démontrer ses propriétés par déduction de celles de ces polygones.

Angles et côtés

Un carré possède quatre angles droits (comme tout un rectangle) et tous ses côtés ont la même longueur (il est un losange). Les côtés opposés d'un carré sont parallèles deux à deux, ce qui en fait un cas particulier de parallélogramme.

Diagonales

Un carré noté ABCD avec ses diagonales.

Comme parallélogramme particulier, tout carré possède des diagonales qui se coupent en leur milieu. Ce point d'intersection est appelé le centre du carré. Notons-le O. Les diagonales de tout rectangle — et donc de tout carré — ont la même longueur. Donc il existe un cercle de centre O passant par les quatre sommets du carré. Le rayon de ce cercle est égal à la longueur d'une demi-diagonale.

Les diagonales de tout carré sont perpendiculaires, comme celles de tout losange.

Chaque diagonale partage le carré en deux triangles qui sont à la fois rectangles et isocèles. Les deux diagonales ensembles délimitent dans le carré quatre triangles rectangles isocèles.

Mesures

Tous les carrés sont semblables. Cela signifie que, pour deux carrés donnés, il existe toujours un agrandissement (ou une réduction) permettant de transformer l'un en l'autre en conservant les angles géométriques et les proportions. On peut donc définir entièrement un carré par la longueur c de ses côtés.

L'aire d'un carré est c×c = c². Son périmètre mesure 4c et chaque diagonale mesure c√2.

Le carré est, parmi les quadrilatères de même périmètre, celui qui possède la plus grande surface. Cette figure est la réponse à la question d'isopérimétrie dans les quadrilatères.

Dimensions d'un carré de côté c et de diagonale d
Diagonale
Côté
Périmètre
Aire