Le seul carré magique d'ordre 3 (tous les autres d'ordre 3 sont obtenus par réflexion ou rotation).
Il existe des dispositions magiques pour tout carré d'ordre n ≥ 1. Le carré d'ordre 1 est trivial, n'importe quel nombre indiqué dans l'unique case permet de satisfaire les règles. Le carré d'ordre 2 est également trivial puisqu'il n'est possible qu'en répétant le même nombre dans les quatre cases. Le plus petit cas non trivial est le carré d'ordre 3.
Tout carré magique d'ordre 3 s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante. Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.
Graphes superposés sur des grilles de carrés magiques. Les tracés présentent des propriétés de symétrie centrale.
La constante magique d'un carré magique normal dépend uniquement de n et vaut :
. En fonction de l'ordre n = 3, 4, 5, 6, 7, 8… elle vaut ainsi : 15, 34, 65, 111, 175, 260…. En excluant les rotations et les réflexions, le nombre de carrés magiques normaux pour les dimensions 1 à 5 est donné par la suite : 1, 0, 1, 880, 275 305 224. Le nombre de carrés magiques pour les dimensions supérieures était inconnu en date de 1999, et l'est probablement en 2010. Par exemple, Pinn et Wieczerkowski en 2004 estimaient que pour le carré magique d'ordre 6, le nombre était d'environ 0,17×1020, soit plus de 10 milliards de milliards.
Si l'on relie les nombres de certains carrés magiques dans l'ordre croissant, on obtient une figure qui présente une symétrie centrale (voir image ci-contre). Cette propriété est fausse dans le cas général.
Exemples
Ordre 4
Melencolia de Dürer, contenant le carré magique d'ordre 4 ci-contre
Carré d'ordre 4 publié par Albrecht Dürer
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Ce carré magique était connu du peintre allemand Albrecht Dürer, qui l'a inclus dans sa gravure Melencolia. Il est combiné de telle sorte que pris horizontalement, verticalement ou en diagonale, la somme des nombres considérés est 34, ainsi d'ailleurs que la somme des quatre nombres figurant dans les quatre cases centrales ou encore dans les quatre cases d'angle. Il existe un très grand nombre de possibilités de trouver, dans le carré de Dürer, le nombre 34. Ainsi prendre les quatre coins, essayer de nouveau en prenant chaque case suivant directement un coin dans le sens des aiguilles d'une montre. Les trouver toutes prend un temps certain. Dürer réussit également à faire figurer dans les deux cases centrales de la rangée du bas la date (1514) de son œuvre.
Ordre 5
Carré magique d'ordre 5
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
Ce carré magique est « semi-diabolique » car la somme de 65 se retrouve sur toutes les diagonales brisées allant de gauche à droite. Exemple : 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Si les diagonales brisées allant de droite à gauche présentaient cette même somme magique, le carré serait dit « diabolique ». Il en existe d'ailleurs de nombreux.
Ordre 8
Carré magique d'ordre 8 publié par Benjamin Franklin
52
61
4
13
20
29
36
45
14
3
62
51
46
35
30
19
53
60
5
12
21
28
37
44
11
6
59
54
43
38
27
22
55
58
7
10
23
26
39
42
9
8
57
56
41
40
25
24
50
63
2
15
18
31
34
47
16
1
64
49
48
33
32
17
Ce carré magique d'ordre 8 publié par Benjamin Franklin possède plusieurs propriétés. La somme des carrés d'une même ligne est de 260 alors que la somme des quatre premières cases est de 130. Une ligne à 45° partant de la colonne de gauche et traversant les quatre premières colonnes, pour redescendre ensuite jusqu'à la colonne de droite, rencontre huit nombres d'un total de 260, quantité qui se retrouve en additionnant les nombres des cases extrêmes et des quatre cases centrales. La somme des nombres des cases de 16 carrés juxtaposés pour former l'ensemble de la figure est de 130; ce nombre se retrouve en additionnant les chiffres de quatre cases quelconques équidistantes du centre. Il est également possible de réaliser un carré magique d'ordre 8 en effectuant un parcours de case en case selon les règles de déplacement du cavalier du jeu d'échecs.
Carré magique d'ordre 8 publié par le général Cazalas
1
8
53
52
45
44
25
32
64
57
12
13
20
21
40
33
2
7
54
51
46
43
26
31
63
58
11
14
19
22
39
34
3
6
55
50
47
42
27
30
62
59
10
15
18
23
38
35
4
5
56
49
48
41
28
29
61
60
9
16
17
24
37
36
Ce carré magique d'ordre 8 publié par le général Cazalas est un carré diabolique car les diagonales brisées donnent la somme caractéristique : 260. De plus, chaque sous-carré de deux sur deux a un total de 130, ce qui en fait un carré « hyper-magique ».
Carré panmagique d'ordre 8 publié par Willem Barink
60
6
11
53
44
22
27
37
13
51
62
4
29
35
46
20
54
12
5
59
38
28
21
43
3
61
52
14
19
45
36
30
58
8
9
55
42
24
25
39
15
49
64
2
31
33
48
18
56
10
7
57
40
26
23
41
1
63
50
16
17
47
34
32
Ce carré panmagique d'ordre 8 publié par Willem Barink présente (presque) toutes les propriétés panmagiques concevables. Aussi les 4 quadrants du carré sont des carrés panmagiques. Les diagonales partielles et les diagonales franklines (redescendant chez les diamètres) ont un total de 260 : 18 + 25 + 45 + 38 + 59 + 52 + 8 + 15. De plus, il y a seulement deux sommes pour les paires de nombres consécutifs dans les lignes horizontales (66, 64) et les lignes verticales (73, 57).
Ordre 12
Carré panmagique d'ordre 12 publié par Willem Barink
138
8
17
127
114
32
41
103
90
56
65
79
19
125
140
6
43
101
116
30
67
77
92
54
128
18
7
137
104
42
31
113
80
66
55
89
5
139
126
20
29
115
102
44
53
91
78
68
136
10
15
129
112
34
39
105
88
58
63
81
21
123
142
4
45
99
118
28
69
75
94
52
130
16
9
135
106
40
33
111
82
64
57
87
3
141
124
22
27
117
100
46
51
93
76
70
134
12
13
131
110
36
37
107
86
60
61
83
23
121
144
2
47
97
120
26
71
73
96
50
132
14
11
133
108
38
35
109
84
62
59
85
1
143
122
24
25
119
98
48
49
95
74
72
Ce carré panmagique d'ordre 12 publié par Willem Barink (constante de 870) contient presque toutes les propriétés panmagiques concevables, sauf les diagonales franklines. Le carré se compose de 9 carrés 4x4 panmagiques. Commençant à une case impaire dans une ligne, la somme de 4 nombres consécutifs est 290 (=1/3 de la somme totale de la ligne). Suivant l'installation des nombres 1, 2, 3, 4... 144, la figure symétrique est de forme identique à celle du carré panmagique 8x8 ci-dessus. On peut construire tous les carrés d'ordre 4k suivant cette symétrie.
Carrés magiques premiers
Carré magique premier 5 x 5
2087
2633
2803
2753
3389
2843
2729
3347
2099
2647
3359
2113
2687
2819
2687
2663
2777
2699
3373
2153
2713
3413
2129
2621
2789
Les carrés magiques peuvent également être intégralement constitués de nombres premiers comme dans l'exemple ci-contre, qui est de plus un carré diabolique du fait que de nombreuses symétries y figurent (entre autres, croix pleines et déliées, en diagonale et en verticale, ainsi que les translations horizontales et verticales de toutes celles-ci). La constante magique est 13 665.
Un carré magique 3x3 composé de nombres premiers consécutifs. Ce carré a été créé par H. Nelson.
