Calculs relativistes - Définition

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- Introduction - Les transformations de Lorentz - Forces et Accélérations - Utilisation du groupe de Lorentz - Le quadrivecteur énergie impulsion - Accélération et énergie - Les lois de l'électromagnétisme - Les chocs aux hautes énergies - Autres ébauches

Introduction

Cet article se veut volontairement calculatoire pour montrer que l'essentiel peut se déduire par le calcul des transformations de Lorentz.

Avant Einstein

Avec Einstein

En physique des particules

Méta

Les transformations de Lorentz

Soient deux référentiels $\mathbb{R}$ et $\mathbb R'$ en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative v selon l'axe Ox. Lorsque l'on passe du premier référentiel au second, les coordonnées sont liées par la transformation de Lorentz :

$x' = \gamma (x - vt) \qquad y' = y \qquad z' = z \qquad t' = \gamma (t - \frac{vx}{c^2})$ avec $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}$ et $\beta = \frac{v}{c}$

Les transformations inverses $\mathbb R' \rightarrow \mathbb R$ qui donnent les coordonnées dans R en fonction des coordonnées dans R' s'en déduisent en résolvant le système de deux équations à deux inconnues $x' = \gamma (x - vt) \qquad t' = \gamma (t - \frac{vx}{c^2})$ Il suffit de changer le signe de la vitesse :

$x' = \gamma (x - vt) \qquad y' = y \qquad z' = z \qquad t' = \gamma (t - \frac{vx}{c^2})$

$\qquad x = \gamma (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = \gamma (t' + \frac{vx'}{c^2})$

On a donc en écriture matricielle :

$\begin{pmatrix} ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta& 0 & 0\\ -\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix}$

Et inversement : $\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & +\gamma\beta& 0 & 0\\ +\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct'\\x'\\y'\\z'\\\end{pmatrix}$ Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz.

Vous pouvez constater que si vous remplacez x' et t' par leurs expressions données au-dessus en fonction de x et t, vous obtenez x = x et t = t ce qui signifie que les formules ci-dessus sont inverses l'une de l'autre ; les mathématiciens expriment cela en disant que cette propriété est une des propriétés requises pour que les transformations de Lorentz forment un groupe, la principale conséquence étant que la composition de deux transformations de Lorentz est une transformation de Lorentz. On verra dans le paragraphe relatif à la composition des vitesses une utilisation du groupe de Lorentz.

Presque tout se déduit des transformations de Lorentz, ce qui fait dire que, en Relativité restreinte, il vaut mieux se fier aux résultats du calcul que de faire des raisonnements qualitatifs. Les transformations ci-dessus sont identiques aux transformations de Galilée pour les vitesses usuelles et cependant détruisent la notion du temps universel puisque celui-ci devient dépendant du référentiel : le temps varie comme la position varie. Le temps est une coordonnée pour exprimer les lois de la physique et celles-ci deviennent covariantes lorsque on les exprime avec un espace à 4 dimensions (ct, x, y, z). En remplaçant ici t par ct, on ne fait que transformer les unités de temps de façon qu'elles soient en mètres plutôt qu'en secondes.

On va ci-dessous développer une page de calculs permettant de déduire des conséquences.

La pseudonorme

On repère un évènement par les coordonnées d'un vecteur dans un repère à 4 dimensions c temps-espace $\mathbf{r}=( ct, \vec r) = (ct,x,y,z)$

On montre facilement que :

$\mathbf{r^2}=c^2t^2 - \vec r^2=c^2t^2 - (x^2+y^2+z^2)=c^2t'^2 - (x'^2+y'^2+z'^2)=c^2t'^2 - \vec{r'}^2=\mathbf{r'^2}$

En effet :

$\left(\gamma(ct'+\beta x')\right)^2 - (\left(\gamma(x'+\beta ct')\right)^2+y'^2+z'^2)=(\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right) c^2t'^2 - ((\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right)x'^2+y'^2+z'^2)=c^2t'^2 - (x'^2+y'^2+z'^2)$

On note en gras la pseudonorme du vecteur à 4 dimension ou quadrivecteur: $\mathbf{r^2}=c^2t^2 - \vec r^2$

ceci est appelé la pseudo - norme du quadrivecteur position d'un évènement repéré dans l'espace temps à 4 dimensions : On a montré mathématiquement que cette quantité ne dépendait pas du référentiel et constituait donc un invariant aux transformations de Lorentz.

La dilatation des durées

Déjà, il faut constater que au temps t' correspond une infinité de temps dans $\mathbb{R}$ : $ct = \frac{(ct'+\frac{vx'}{c})}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}$

Pour simplifier , prenons t'=0: $ct = \frac{(\frac{vx'}{c})}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}$

Pour le même temps t'=0 correspondent des temps t qui sont pour des x positifs dans le futur de $\mathbb{R}$ et pour des x négatifs dans le passé de $\mathbb{R}$ !

Soient deux référentiels, $\mathbb{R}$ , et $\mathbb{R'}$ en translation rectiligne uniforme par rapport au premier référentiel suivant l'axe des x positifs à la vitesse v.

Une horloge au repos dans $\mathbb{R'}$ au point $M'(x' o, y' o, z' o)$ , mesure deux évènements dans $\mathbb{R'}$ : $(c t' 1, x' o, y' o, z' o)$ et $(c t' 2, x' o, y' o, z' o)$ qui se produisent donc au même endroit et à des temps différents.

Selon les transformations de changement de référentiel, $x 1 = γ(v t' 1 + x' o)$ et $x 2 = γ(v t' 2 + x' o)$ . La durée entre deux évènements dans le référentiel $\mathbb{R'}$ se produisant en $M'(x' o, y' o, z' o)$ est : $t' 1 - t' 2$ La durée entre ces deux évènements dans le référentiel $\mathbb{R}$ est : $t_1-t_2=\gamma(t'_1+\frac{vx'_o}{c^2}-t'_2-\frac{vx'_o}{c^2})=\gamma(t'_1-t'_2)$

En posant $τ 0 = t' 1 - t' 2$ la durée au repos, et $τ = t 1 - t 2$ la durée observée dans le référentiel $\mathbb{R}$ , nous obtenons la formule dite de dilatation des durées :

$\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Ainsi, vu du référentiel $\mathbb{R}$ par deux observateurs situés en $x 1 = γ(v t' 1 + x' o)$ et $x 2 = γ(v t' 2 + x' o)$ et qui ont synchronisé leurs horloges dans le référentiel $\mathbb{R}$ la mesure de l'intervalle de temps n'est pas égal à celui mesuré par un observateur immobile situé en $M'(x' o, y' o, z' o)$ :

La quantité $τ 0$ s'appelle temps propre . Comme $\tau_0 = \tau \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}$ , on voit que la quantité $\tau \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}$ est un invariant relativiste.

Le facteur $\gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}}$ qui intervient dans la dilatation des durées, a, pour un avion, une valeur approchée de 1 + v²/2c² soit 1+10^(-10) =1.0000000001 Quelques microsecondes sur un an de vol de supersonique ! Difficile de croire à la réalisation d'une mesure de la dilatation du temps en comparant l'indication d'horloges demeurées au sol à l'indication d’horloges emportées sur un avion (cette expérience a eu lieu aux USA en 1972 de façon non probante). Néanmoins les chercheurs travaillant sur les particules produites dans les synchrotrons vivent quotidiennemnt l'effet de la dilatation du temps T= γ T'.

Et aujourd'hui,les horloges atomiques embarquées dans les satellites des systèmes GPS sont calibrées de façon à ce que leurs indications soient compatibles avec des horloges restées sur Terre.

La contraction des longueurs

Nous nous plaçons dans les conditions évoquées au précédent paragraphe. Mesurer une longueur M₁M₂ revient à repérer dans un système de coordonnées les deux extrémités M₁ et M₂ ; Cela ne pose pas de problème si celles-ci ne bougent pas dans le temps ; par contre si elles se déplacent à la même vitesse v, il faudra repérer ces deux extrémités simultanément. Nous considérons donc une règle au repos dans $\mathbb{R'}$ , de longueur $L 0$ au repos. Les coordonnées de ses extrémités sont $x' 1$ et $x' 2$ . Les évènements de ses extrémités sont : $(t', x' 1,0,0)$ et $(t', x' 2,0,0)$ , car il faut observer simultanément ces évènements dans $\mathbb{R'}$ .

Considérons maintenant les évènements $(t' 1, x' 1,0,0)$ et $(t' 2, x' 2,0,0)$ , on obtient dans $\mathbb{R}$ :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} x_1=\gamma(x'_1+vt'_1)\\ t_1=\gamma(t'_1+\frac{v}{c^2}x'_1) \end{matrix}\right. &\left\{\begin{matrix} x_2=\gamma(x'_2+vt'_2)\\ t_2=\gamma(t'_2+\frac{v}{c^2}x'_2) \end{matrix}\right.\end{matrix}$

Déterminons $t' 2 - t' 1$ pour que ces évènements soient simultanés dans $\mathbb{R}$ , il faut que :

$t_2-t_1=\gamma(t'_2-t'_1+\frac{v}{c^2}(x'_2-x'_1))=0$ soit :

$t'_2-t'_1=-\frac{v}{c^2}(x'_2-x'_1)$

$x_2-x_1=\gamma(x'_2-x'_1)+\gamma v(t'_2-t'_1)=\frac{1}{\gamma}(x'_2-x'_1)$

La longueur de la règle, observée dans le référentiel $\mathbb{R}$ s'exprime :

$L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Ainsi, la règle est plus courte dans le référentiel $\mathbb{R}$ que dans le référentiel $\mathbb{R}'$ : la règle M₁M₂ en mouvement est plus courte lorsque la mesure de sa longueur est faite dans un référentiel dans lequel M₁M₂ est en mouvement.

Ainsi un coureur R' de 100m va s'autochronométrer avec sa montre un temps propre de T'₀=10s sur une piste de L₀ = 100m dans R : pour le coureur, la piste qui défile à la vitesse v sous ses enjambées ne fait pas 100 m elle est contractée L'=L₀/γ ; par contre pour le juge de piste la piste est immobile par rapport à lui ; elle fait L₀ = 100m en longueur propre et le temps est T=γT'₀ c'est-à-dire dilaté. Le coureur et le juge ne sont d'accord ni sur le temps ni sur la distance, mais sont d'accord sur la vitesse v = L'/T'₀= L₀/T. Bien sûr, aux vitesses d'un coureur de 100m, toutes ces différences sont imperceptibles. Les effets relativistes ne sont perceptibles que à l'échelle nucléaire ou à l'échelle galactique.

La composition des vitesses

Nous savons dans la vie quotidienne que les vitesses s'ajoutent. Prenons un exemple concret, je prends le métro, et je marche à 5 km/h sur un tapis roulant allant dans le même sens à 4 km/h. Ma vitesse par rapport au sol est de 9 km/h. Nous allons voir comment obtenir la formule de composition des vitesses galiléenne, puis relativiste. Nous supposerons dans ce paragraphe que tous les déplacements se font parallèlement à un même axe.

Cas galiléen

Les transformations de Galilée sont :

$\left\{ \begin{array}{rl} x&=\ x'+vt'\\ t&=\ t' \end{array} \right.$

en différenciant, on obtient :

$\left\{ \begin{array}{rl} dx&=\ dx'+vdt'\\ dt&=\ dt' \end{array} \right.$

ou encore:

$\left\{ \begin{array}{rl} dx&=\ dt'(\frac{dx'}{dt'}+v)\\ dt&=\ dt' \end{array} \right.$

le quotient donne : $u = u' + v$ , avec $u = {dx \over dt}$ et $u' = {dx' \over dt'}$ , ce qui est la loi de composition classique: les vitesses s'ajoutent.

Cas relativiste

Les transformations de Lorentz sont :

$\left\{ \begin{matrix} x=\gamma(x'+vt')\\ t=\gamma(t'+\frac{v}{c^2}x') \end{matrix} \right.$

en différenciant, on obtient :

$\begin{matrix} dx=\gamma(dx'+vdt')=\gamma(\frac{dx'}{dt'}+v)dt'\\ dt=\gamma(dt'+\frac{v}{c^2}dx')=\gamma(1+\frac{v}{c^2}\frac{dx'}{dt'})dt' \end{matrix}$

le quotient donne :

$\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx'}{dt'}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx'}{dt'}}$ Soit : $u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}$ la loi de composition relativiste des vitesses : elles ne s'ajoutent pas.

Si u' = c, alors on obtient u = c. La vitesse de la lumière est la même dans les deux référentiels.

Forces et Accélérations

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