Calcul vectoriel en géométrie euclidienne - Définition

Produit mixte

Définition et propriétés

Étant donnés trois vecteurs , et , on appelle produit mixte de ces 3 vecteurs la quantité :

.

On peut démontrer que l'on a :

et

et aussi :

autrement dit :

Remarques :

• Si deux des trois vecteurs sont égaux ou colinéaires, le produit mixte est nul.
• Le produit mixte de trois vecteurs vrais (en opposition à des pseudovecteurs) est une quantité pseudoscalaire.

Application du produit mixte

• Si les vecteurs , et ont même origine, la valeur absolue du produit mixte est égale au volume du parallélépipède construit sur , et , ou encore à six fois le volume du tétraèdre construit sur ces mêmes vecteurs.

Produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace

Produit vectoriel

Notons tout d'abord que deux vecteurs non colinéaires et définissent un plan vectoriel ; un troisième vecteur est coplanaire aux deux précédents si et seulement s'il peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux premiers, c'est-à-dire s'il existe deux réels a et b tels que

Trois vecteurs non coplanaires forment une base. La base est dite directe si on peut l'imager avec la main droite, étant le pouce, étant l'index et étant le majeur.

On définit le produit vectoriel des deux vecteurs et , noté , comme étant le vecteur :

• normal au plan vectoriel de base
• dont la norme vaut
• tel que forme une base directe.

On étend la définition précédente au cas où et sont colinéaires en posant :

Remarque 

Le produit vectoriel agit sur des objets mathématiques de différentes sortes, soit des vecteurs, soit des pseudovecteurs. Cette distinction est peu importante en base orthonormée (sauf pour les symétries), mais si elle n'est pas faite en base non orthonormée, cela aboutit à des absurdités. On a ce problème en physique avec notamment les champs magnétiques et les moments, qui ressemblent beaucoup aux vecteurs, mais qui sont en fait des pseudovecteurs, et n'obéissent pas aux mêmes règles de calcul.

Double produit vectoriel

On peut combiner trois vecteurs , et par deux produits vectoriels successifs. C'est le double produit vectoriel.

Exemple :

Comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser ici des parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de l'ordre de présentation des 3 vecteurs.

On peut démontrer (sans difficulté mais assez laborieusement) les 2 formules suivantes :

et

Moyen mnémotechnique : le double produit vectoriel est forcément porté par les vecteurs entre parenthèses (puisque ne possède aucune composante sur le troisième vecteur) et le terme qui ne porte pas le signe est forcément porté par le vecteur situé au milieu du double produit vectoriel, la composante sur ce vecteur étant le produit scalaire des deux autres.