Battement - Définition

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Cas général

Les ondes peuvent être représentées par des fonctions trigonométriques : en effet, le théorème de Fourier garantit que l'on peut décomposer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques.

Supposons des ondes linéaires, solutions de l'équation de d'Alembert, se propageant transversalement sur une dimension : par exemple une corde vibrante. Alors le déplacement en un point d'abscisse x, à un instant t par rapport à la position de repos est donné par la formule :

A\left( x,t \right)= A_0 \cos \left( \omega\cdot t - k\cdot x + \alpha \right)

avec ω la pulsation (en rad·s-1), k le nombre d'onde (en rad·m-1), α la phase à l'origine (en rad) et A0 l'amplitude de l'onde.

On peut relier la pulsation à la fréquence par cette équation :

ω = 2πf

Battements dans le temps

Battements interférentiels de deux ondes de fréquences proches (10 % de différence).

Pour simplifier, on se place en un point fixe, d'abscisse x0, et on étudie les battements qui se produisent en ce point, dans le temps.

On choisit x0 de sorte que :

k\cdot x_0 + \alpha = 0

On a alors, à tout instant t :

A \left( x_0,t \right) = A_0\cos \left(\omega\cdot t \right)

Puisque l'on a des interférences entre deux ondes, il faut sommer deux fonctions trigonométriques. Cela peut être fait en utilisant les formules d'addition :

\cos\left(a\right) + \cos\left(b\right) = 2 \cdot \cos \left( \frac{a + b}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a - b}{2}\right).

Supposons que se propagent deux ondes de même amplitude, mais de pulsations différentes. Alors le déplacement en un point et la somme des contributions des deux ondes :

A_1\left(x_0 ,t\right) + A_2\left(x_0 ,t\right) = 2 A_0 \cos\left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \cdot t\right) \cdot \cos\left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \cdot t \right)

Il apparaît que l'onde totale peut être décomposée en une onde « de base », de pulsation rapide 1 + ω2) / 2, et en une onde de pulsation lente 1 − ω2) / 2 qui fait varier l'amplitude de la première.

Battements dans l'espace

Battements d'interférence selon l'endroit à un instant donné, pour une différence de nombre d'onde de 10 %.

Il est possible de réaliser l'étude complémentaire : on fixe un instant t0 et on regarde l'onde dans l'espace.

On choisit t0 de sorte que :

\omega \cdot t_0 +  \alpha = 0\,

De même que précédemment, l'onde totale est la somme des deux ondes de nombres d'onde différents :

A_1\left(x,t_0\right) + A_2\left(x,t_0\right) = 2 \cdot A_0 \cdot \cos \left( x \cdot \frac{k_1+k2}{2} \right) \cdot \cos \left( x \cdot \frac{k_1 - k_2}{2} \right)\,

on obtient une figure spatiale d'interférence, ayant également une variation de petite longueur d'onde (k1 + k2) / 2 et une variation de grande longueur d'onde (k1k2) / 2

Différence de phase

Si l'on considère maintenant des ondes de même amplitude A, de même pulsation ω (donc de même nombre d'onde k) mais de phase α différente, on a :

A_1 \left(x,t \right) +A_2 \left(x,t \right) = 2 \cdot A_0 \cdot \cos \left( \omega \cdot t + k \cdot x + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \right)

L'onde résultante a donc la même pulsation, mais sa phase à l'origine et son amplitude dépendent des phases des ondes interférentes.

Si α1 = α2 [2π], le facteur cos((α1 – α2)/2) vaut cos(0) = 1, on a donc une onde d'amplitude double ; on parle d'interférences constructives et on dit que les ondes sont « en phase ».

Si en revanche α1 = α2 + π [2π], le facteur cos((α1 – α2)/2) vaut cos(π/2) = 0, les ondes s'annulent ; on parle d'interférences destructives et on dit que les ondes sont « en opposition de phase ».

Entre ces situations, l'amplitude passe de 2·A0 à 0 en fonction du facteur cos((α1 – α2)/2). Les endroits où l'on a une extinction du son pour deux haut-parleurs branchés en opposition de phase correspondent aux lieux pour lesquels les ondes sont toujours en opposition de phase.

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