Automate cellulaire - Définition

Modélisation et Applications

On peut, en première approximation, considérer le modèle des automates cellulaires comme le pendant discret des équations aux dérivées partielles. Ainsi, à chaque fois qu'un phénomène physique est décrit par des équations aux dérivées partielles, on peut en proposer une (des) discrétisation(s) sous forme d'automate cellulaire. Il reste à déterminer dans quelle mesure le modèle cellulaire est pertinent pour expliquer et/ou prédire le phénomène étudié. Rien n'est garanti dans le cas général et caractériser la dynamique globale du modèle cellulaire en fonction de sa définition locale peut être au moins aussi difficile que de résoudre le système d'équations aux dérivées partielles.

En revanche, l'automate cellulaire peut être simulé facilement par ordinateur ! Ainsi, en analyse numérique, de nombreuses méthodes consistent à discrétiser certaines grandeurs (espace, temps, valeur) pour effectuer des simulations numériques (voir la méthode des éléments finis, des volumes finis ou des différences finies).

Modélisation en physique

Parmi les modèles qui ont été très étudiés, on peut citer les automates de gaz sur réseau (lattice gaz automata en anglais) qui modélise des particules de gaz régies par une version discrète des équations de Navier Stokes. La première formulation de ce modèle, connu sous le nom de HPP, (il s'agit d'un automate cellulaire de dimension 2) est due à J. Hardy, Y. Pomeau et O. Pazzis dans les années 70. Une seconde formulation, FHP, a été proposé dans les années 80 par U. Frisch, B. Hasslacher et Y. Pomeau : elle améliore la précédente en remplaçant le réseau de cellule Z² par un réseau hexagonal.

Phénomènes biologiques

Les motifs de certains coquillages, comme les cônes et les cymbiolae, sont générés par des mécanismes s'apparentant au modèle des automates cellulaires. Les cellules responsables de la pigmentation sont situées sur un bande étroite le long de la bouche du coquillage. Chaque cellule sécrète des pigments selon la sécrétion (ou l'absence de sécrétion) de ses voisines et l'ensemble des cellules produit le motif de la coquille au fur et à mesure de sa croissance. Par exemple, l'espèce conus textile présente un motif ressemblant à la règle 30 décrite plus haut.

Conus textile présentant sur sa coquille un motif similaire à certains automates cellulaires

Trafic routier

Automate cellulaire élémentaire 184 : en noir les portions d'autoroute vides, en bleu celles où une voiture est présente. Les zones qui semblent être d'un bleu plus foncé sont en fait formées d'une alternance de noir et de bleu et correspondent à une circulation fluide de densité maximale.

K. Nagel et M. Schreckenberg ont proposé dans les années 90 un modèle de trafic autoroutier basé sur un automate cellulaire de dimension 1 :

• les cellules de l'automate représentent différentes portions de l'autoroute ;
• une cellule est soit dans l'état vide, soit dans l'un des états , où v_i représentent la présence d'un véhicule roulant à la vitesse v_i (v₁ représente l'arrêt) ;
• le fonctionnement est schématiquement le suivant :

1. chaque véhicule accélère d'un cran (passe de v_i à v_{i + 1}) en limitant sa vitesse afin de ne pas parcourir en 1 unité de temps plus que la distance qui le sépare du véhicule devant lui,
2. la vitesse obtenue est diminuée d'un cran (passage de v_j à v_{j − 1}) avec une certaine probabilité p,
3. chaque véhicule avance d'une distance proportionnelle à sa vitesse ainsi déterminée.

Ce modèle correspond à un automate cellulaire si la perturbation aléatoire est absente (p = 0). Si de plus n = 2 (un véhicule est soit à l'arrêt, soit à sa vitesse maximum), le modèle se réduit à l'automate cellulaire élémentaire 184 : les cellules peuvent prendre uniquement deux valeurs correspondant à vide ou présence d'un véhicule.