Arithmétique modulaire - Définition et Explications

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Introduction

Couverture de l’édition originale des Recherches arithmétiques de Gauss, livre fondateur de l’arithmétique modulaire.

En mathématiques et plus précisément en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Ces méthodes dérivent de l’étude du reste obtenu par une division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de...) euclidienne.

L'idée de base de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des...) modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf à l'école primaire, on effectue un peu d'arithmétique modulaire sans le savoir : le diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q tel que n = d × q.) est alors la valeur 9.

Si ses origines remontent à l’Antiquité, les historiens associent généralement sa naissance à l’année 1801, date de la publication du livre Disquisitiones arithmeticae de Carl Friedrich Gauss . Sa nouvelle approche permet d’élucider de célèbres conjectures et simplifie les démonstrations d’importants résultats par une plus grande abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la pensée une ou plusieurs qualités d'un objet concret pour en...). Si le domaine naturel de ces méthodes est la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et...), les conséquences des idées de Gauss se retrouvent dans d’autres champs des mathématiques, comme l’algèbre ou la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...).

Le XXe siècle modifie le statut de l’arithmétique modulaire. D’une part, d’autres méthodes sont nécessaires pour progresser en théorie des nombres. D’autre part, le développement de nombreuses applications industrielles impose la mise au point (Graphie) d’algorithmes issus des techniques modulaires. Ils résolvent essentiellement des questions soulevées par la théorie de l’information, une branche maintenant surtout considérée comme des mathématiques appliquées.

L’article congruence sur les entiers propose une introduction plus mathématique, anneau Z/nZ traite le même sujet de manière moins didactique et plus exhaustive.

Usages

En mathématiques pures, ce terme est très peu utilisé. Le vocable proche le plus fréquent est théorie algébrique des nombres, qui désigne un domaine plus large, contenant par exemple les notions d'entiers algébriques et de théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des...).

En mathématiques appliquées, cette expression est d'un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) fréquent pour décrire les bases mathématiques de différents domaines de la théorie de l'information : cryptologie, théorie des codes et informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par...). De nombreux outils et algorithmes entrent dans ce champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'étude. On y trouve les tests de primalités, la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) en produit de facteurs premiers, l'utilisation des caractères d'un groupe par exemple pour la transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche...) discrète ou encore l'étude d'autres quotients que ceux des entiers, comme celui des polynômes.

Selon les différents auteurs et le domaine d'application, ces extensions sont considérées, soit comme une partie intégrante de l'arithmétique modulaire, soit comme des applications, voire ne sont pas citées du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.). Sous sa forme simple, elle prend parfois le nom d'arithmétique de l'horloge. Le terme de système modulaire est utilisé pour désigner une arithmétique modulaire sur d'autres ensembles que les entiers.

Outils de l'arithmétique modulaire

Congruence et les entiers

L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier n étant fixé, le calcul modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction qui au couple (a, b)...) n consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par n ; ceci peut être illustré par l'exemple de l'« arithmétique de l'horloge », qui correspond à n=12 : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures (L'heure est une unité de mesure  :), on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de résidu aux différents éléments.

L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté Z/nZ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur 1 ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre Disquisitiones arithmeticae sont le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Wilson et le petit théorème de Fermat.

Le calcul modulaire, dans le cas où le modulo n'est pas premier, est plus complexe. Le théorème des restes chinois (Le théorème des restes chinois est un résultat d'arithmétique traitant de résolution de systèmes de congruences. Ce résultat se généralise en théorie des anneaux. Ce théorème est utilisé en théorie des nombres.) permet d'élucider la structure. L'anneau n'est pas intègre, il existe des diviseurs de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des...), ce sont des nombres qui, multipliés par un certain autre nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) non nul, donnent zéro. Le nombre d'éléments inversibles est donné par la fonction indicatrice d'Euler. Elle permet, par exemple, de généraliser le petit théorème de Fermat.

Résidu et polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur...)

Figure à la règle et au compas: l'heptadécagone, un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.) régulier de 17 côtés, mis en évidence avec les techniques de l'arithmétique modulaire.

Gauss remarque que l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels peut se voir appliquer la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) du calcul modulaire, puisqu'il dispose d'une addition, d'une multiplication, et d'une division euclidienne. Les congruences sont les restes de la division euclidienne des polynômes par un polynôme donné.

Il applique cette approche au polynôme Xn - 1 et trouve sa décomposition en produit de facteurs irréductibles, qui prennent le nom de polynôme cyclotomique. Gauss utilise ces résultats pour trouver une construction à la règle et au compas de l'heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés.

Il hésite à considérer ces travaux comme de l'arithmétique ; il écrit : « La théorie de la division du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...), ou des polygones réguliers, ..., n'appartient pas par elle même à l'Arithmétique, mais ses principes ne peuvent être puisés que dans l'Arithmétique transcendante ». Le terme d'arithmétique « transcendante » de Gauss est maintenant remplacé par celui d'arithmétique « modulaire ». La logique de cet argument est toujours d'actualité.

Entier algébrique

Le cas des polynômes à coefficients entiers diffère : la propriété de division ne fonctionne que pour des polynômes dont le plus grand coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients...) est égal à plus ou moins un. Le cas des moduli du polynôme X2 + 1 est envisagé : la structure modulaire obtenue est encore celle d'un anneau, s'identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les informations permettant à une personne de s'identifier auprès d'un...) à l'ensemble des nombres de la forme α + i.β où α et β sont des entiers et i désigne le nombre imaginaire, correspondant au monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un cortège ou d'une procession en file indienne. Il est...) X. Cet ensemble est celui des entiers de Gauss.

Illustration de la division euclidienne pour les entiers de Gauss
Illustration de la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) du théorème des deux carrés par les entiers de Gauss

Il peut être muni d'une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce...). À l'entier de Gauss a = α + i.β est associée la norme α2 + β2, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur a/b existe si b est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à un de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de...) seule l'existence compte.

Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux de cette planète.)'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) sur la figure de gauche. Un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette...) p s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de p croise au moins un entier Gauss.

Ferdinand Eisenstein , qui rencontre Gauss en 1844, découvre un nouvel anneau d'entiers ; l'arithmétique sur cet anneau offre une démonstration rigoureuse du grand théorème de Fermat pour n égal à trois, justifiant, encore une fois, la nécessité théorique d'une telle généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) de l'arithmétique modulaire.

Caractère de Dirichlet

Peter Dirichlet développe l'essentiel de la théorie dans le cadre de l'anneau Z/nZ.

Dirichlet s'intéresse aux nombres premiers de la forme n + λ.mn et m sont deux entiers premiers entre eux et λ une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) qui décrit l'ensemble des entiers positifs. Il souhaite en effet démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de cette nature.

L'arithmétique modulaire est un bon outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...) pour cette problématique, qui est équivalente à trouver le cardinal de l'ensemble des nombres premiers dans une classe de modulo.

Dirichlet considère le groupe des éléments inversibles modulo m, et étudie l'ensemble des fonctions du groupe dans les nombres complexes non nuls qui vérifient, si a et b sont deux résidus : f(a.b) = f(a).f(b). De telles fonctions sont appelées caractères de Dirichlet. Il en existe φ(n), le produit de deux caractères est encore un caractère, et leur table de multiplication (Une table de multiplication affiche dans les lignes et colonnes le résultat de la multiplication de petits nombres entiers naturels.) est exactement la même que celle du groupe des unités étudié.

Les calculs sur ces fonctions sont formellement analogues à ceux réalisés précédemment par Joseph Fourier . Il faut néanmoins atteindre le XXe siècle pour voir apparaître une théorie unifiant les deux approches. Elle prend le nom d'analyse harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des perturbations du courant...).

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