Apports en mécanique
Archimède est considéré comme le père de la mécanique statique. Dans son traité, De l'équilibre des figures planes, il s'intéresse au principe du levier et à la recherche de centre de gravité.
On lui attribue aussi le principe d'Archimède sur les corps plongés dans un liquide (Des corps flottants).
Il travailla également sur l'optique (La catoptrique).
Il met en pratique ses connaissances théoriques dans un grand nombre d'inventions. On lui doit, par exemple,
- des machines de traction où il démontre qu'à l'aide de poulies, de palans et de leviers, l'homme peut soulever bien plus que son poids
- des machines de guerre (principe de la meurtrière, catapultes, bras mécaniques utilisés dans le combat naval).
Parmi les machines de guerres très importantes l'on doit souligner l'appareil à mesurer les distances (odomètre) que les Romains empruntèrent à Archimède. En effet pour que l'armée soit efficace, elle doit être reposée et les journées de marche doivent donc être identiques. La machine d'Archimède doit être réalisée avec des dents de rouage pointues et non carrées. On a mis très longtemps à la reconstituer car on faisait cette erreur.
- la vis sans fin et la vis d'Archimède, dont il rapporte, semble-t-il, le principe d'Égypte et dont il se sert pour remonter de l'eau. On lui attribue aussi l'invention de la vis et de l'écrou.
- le principe de la roue dentée grâce auquel il construit un planétaire représentait l'Univers connu à l'époque.
Apports en géométrie
Archimède est un mathématicien, principalement géomètre, de grande envergure. Il s’est intéressé à la numération et à l’infini, affirmant ainsi par exemple qu’il avait l’idée de l’infinité des grains de sable, mais qu’il faudrait les dénombrer (c’est l’objet du traité intitulé traditionnellement « L’Arénaire », Ψάμμιτης). Un système de numération parent de celui d’Archimède faisait l’objet du livre I (mutilé) de la Collection Mathématique de Pappus d’Alexandrie. La majeure partie de ses travaux concernent la géométrie avec :
- l’étude du cercle où il détermine une méthode d’approximation de pi à l’aide de polygônes réguliers et propose les fractions suivantes comme approximations : 22/7, 223/71, et 355/113.
- l’étude des coniques en particulier la parabole dont il présente deux quadratures très originales. Il prolonge le travail d’Eudoxe de Cnide sur la méthode d'exhaustion.
- l’étude des aires et des volumes qui font de lui un précurseur dans le calcul qui ne s’appelle pas encore intégral. Il a travaillé en particulier sur le volume de la sphère et du cylindre et a demandé à ce que ces figures soient gravées sur sa tombe. Dans son traité De la sphère et du cylindre, il avait démontré que le rapport des volumes d’une boule et d’un cylindre, si la sphère est tangente au cylindre par la face latérale et les deux bases, est égal à 2/3, de même que le rapport de leurs surfaces (en incluant, pour le cylindre, la surface des deux disques).
- l’étude de la spirale qui porte son nom dont il a aussi donné une quadrature.
- la méthode d’exhaustion et l’axiome de continuité (présent dans les Eléments d’Euclide, proposition 1 du livre X : « En soustrayant de la plus grande de deux grandeurs données plus de sa moitié, et du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite, on obtiendra (on finira par obtenir en réitérant le procédé un nombre fini de fois) une grandeur moindre que la plus petite ». De cette méthode on a pu faire d’Archimède un précurseur du calcul infinitésimal. La Méthode d'Archimède apparaît en particulier dans un palimpseste connu sous le nom de Palimpseste d'Archimède, qui contient également les traités Des corps flottants, et le Stomachion.