Anneau (mathématiques) - Définition

Anneaux remarquables

Anneaux de Boole

Un anneau de Boole, noté , est un anneau unitaire dans lequel tout élément est idempotent pour la multiplication i.e.

Quelques propriétés des anneaux de Boole :

est de caractéristique 2, i.e.

est un anneau commutatif.

n'est pas intègre, sauf s'il est réduit à un ou à deux éléments.

Exemple : l'ensemble des parties d'un ensemble muni de la différence symétrique considérée comme addition i.e. et de l'intersection considérée comme multiplication i.e. est un anneau de Boole. Tout anneau de Boole fini est de cette forme.

Les notions d'anneau de Boole et d'algèbre de Boole sont intimement liées (voir l'article Algèbre de Boole (structure)).

Anneaux intègres, réduits, factoriels et euclidiens

• Anneau intègre : anneau dans lequel tout élément non nul est régulier i.e. qu'aucun élément n'est un diviseur de zéro. Par définition, tout anneau intègre est unitaire et/ou commutatif.

• Anneau réduit : un anneau est dit réduit si et seulement si son élément nul est le seul élément nilpotent.

Exemple : est un anneau réduit mais non intègre car 2 et 3 sont des diviseurs de zéro dans cet anneau.

• Corps : un corps est un anneau unitaire dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Tout anneau intègre fini est nécessairement un corps.

• • Corps des fractions d'un anneau intègre

Un anneau commutatif unitaire intègre (ou domaine d'intégrité) est presque un corps mais certains éléments ne sont pas toujours inversibles. On démontre que l'on peut plonger tout anneau commutatif intègre dans un corps appelé corps des fractions de A.

Remarque : il n'est pas nécessaire que l'anneau soit unitaire, car l'élément neutre apparaît de toute façon dans la construction du corps des fractions.

• Anneau factoriel : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tous les éléments se décomposent de manière unique (aux inversibles près) en produit d'éléments irréductibles.

plus exactement pour tout a de A, il existe n éléments irréductibles p₁, p₂, ..., p_n tels que a = p₁p₂...p_n. Cette décomposition est unique à l'ordre des p_i près et au produit par des éléments inversibles près.

• Anneau euclidien : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne.

Plus précisément, il existe une application v (appelé stathme euclidien) de A\{0} dans N telle que pour tout a et b de A, b non nul, il existe un couple (q, r) de A² tel que a = bq + r avec r nul ou v(r) < v(b)

est un anneau euclidien dans lequel le couple (q,r) n'est pas unique

L'anneau des entiers relatifs est un anneau euclidien pour v = valeur absolue

Si est un corps commutatif, l'anneau est un anneau euclidien pour v = degré du polynôme.

Idéaux d'un anneau

Plus intéressante que la structure de sous-anneau, la structure d'idéal s'apparente à celle de sous-groupe distingué dans un groupe.

Un idéal I (à droite ou à gauche) est un sous-groupe additif de A vérifiant

• pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I pour un idéal à droite
• pour tout x de I et tout a de A, xa ∈ I pour un idéal à gauche

Un idéal à droite et à gauche est appelé idéal bilatère.

Exemples

• {0} est un idéal bilatère de tout anneau, l'idéal nul.
• A est un idéal bilatère de A.
• Si a a un élément de l'anneau A, l'ensemble des multiples à droite de a (les éléments de la forme ax) est un idéal à droite de A. Il est noté (a).
• L'intersection de deux idéaux (resp. à gauche, resp. à droite) de A est un idéal de A (resp. à gauche, resp. à droite).

Anneaux quotients

Un idéal bilatère permet de créer un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être muni d'une multiplication associative et distributive par rapport à l'addtion, et donc d'une structure d'anneau.

Anneaux commutatifs définis par une propriété de leurs idéaux

Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux particuliers:

• Anneau principal : anneau commutatif unitaire intègre dont tous les idéaux sont principaux.

Voir article détaillé : Anneau principal

Un anneau euclidien est principal

Un anneau principal est factoriel

• Anneau noethérien : anneau commutatif unitaire dont les idéaux sont engendrés par un nombre fini d'éléments

Voir article détaillé : Anneau noethérien

• Anneau artinien : anneau commutatif unitaire dont toute suite d'idéaux décroissante (pour l'inclusion) est stationnaire.

Voir article détaillé : Anneau artinien

• Anneau local : anneau commutatif unitaire dans lequel il n'existe qu'un seul idéal maximal.

• Anneau de Bézout : Anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal

• Anneau de Dedekind : Anneau noethérien intégralement clos dans lequel tout idéal premier non nul est maximal.

Voir article détaillé : Anneau de Dedekind