Anneau euclidien - Définition

Introduction

Euclide (Juste de Gand, vers 1474)

En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire intègre.

Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne.

Cette propriété est riche de conséquences : un anneau euclidien est toujours principal, il vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique. On retrouve ainsi tous les résultats de l'arithmétique élémentaire et plus spécifiquement de l'arithmétique modulaire, mais dans un cadre plus général.

L'anneau euclidien le plus classique est celui des entiers, mais on trouve aussi celui des entiers de Gauss ou encore un autre anneau, permettant de bâtir une arithmétique liée au nombre d'or et explicative de nombreuses propriétés de cet irrationnel. L'anneau des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes, et plus généralement dans n'importe quel corps commutatif est aussi euclidien, donnant ainsi naissance à une arithmétique des polynômes.

Histoire

Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Origine

La première référence ayant influencé le monde mathématique sur la question de la division euclidienne est le livre VII, des Éléments d'Euclide datant d'environ 300 ans avant J.-C.. On y trouve la première définition théorique de la division et l'étude de ses conséquences. Cette branche des mathématiques prend le nom d'Arithmétique. Elle traite essentiellement des questions portant sur les nombres entiers.

Certains mathématiciens comme Diophante d'Alexandrie puis, bien plus tard, Pierre de Fermat comprennent la richesse de cette branche des mathématiques. Ils établissent quelques résultats comme le petit théorème de Fermat et formulent des conjectures comme le théorème des deux carrés de Fermat ou le grand théorème de Fermat. Un outil théorique important est l'analyse des propriétés du reste de la division euclidienne des membres d'une égalité d'entiers. Au XVIII^e siècle, certaines conjecture sont démontrées. On peut citer Leonhard Euler avec le théorème des deux carrés ou le cas n égal à trois du grand théorème de Fermat, presque traité en 1753. D'autres conjectures comme celle de la loi de réciprocité quadratique apparaissent. Ces résultats sont pour l'essentiel démontrés grâce à la virtuosité des mathématiciens, mais l'apport théorique est faible, en conséquence les résultats sont peu généralisables.

Émergence du concept

Carl Friedrich Gauss

En 1801, Carl Friedrich Gauss étudie le premier anneau d'entiers algébriques, celui des entiers qui portent maintenant son nom. Cet anneau possède l'équivalent d'une division euclidienne dans Z. En conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. De même, l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif, dispose aussi d'une division euclidienne. Gauss y construit une arithmétique analogue aux précédentes. Ainsi, la division euclidienne n'apparaît plus comme une spécificité des nombres relatifs mais un algorithme qui s'applique à diverses ensembles munis d'une multiplication et d'une addition.

Cette approche est utilisée pour d'autres entiers algébriques, par exemple par Ferdinand Eisenstein qui découvre l'ensemble des nombres appelés entiers d'Eisenstein et qui dispose d'une division euclidienne.

L'apport d'une division euclidienne à une structure est une démarche féconde. Gauss s'en sert pour une de ses démonstrations de la loi de réciprocité quadratique et des progrès tangibles sont réalisés vers la résolution du grand théorème de Fermat. Le cas n égal à trois devient parfaitement rigoureux. Les cas n égal à cinq, puis quatorze, puis sept, sont démontrés, avec l'apport massif d'autres idées. L'application de la décomposition en facteurs premiers aux polynômes cyclotomiques permet à Gauss de trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas, l'heptadécagone ou polygone régulier à dix-sept côtés.

L'idée est suffisamment novatrice et fructueuse pour que le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique soient parfois rebaptisés lemme de Gauss et théorème de Gauss. Le livre d'arithmétique de Gauss vaut rapidement à son auteur, le surnom de prince des mathématiciens.

Formalisation

Paradoxalement la formalisation moderne provient des limitations des arithmétiques précédentes. Par une démarche utilisant la notion d'anneau d'entiers, Gabriel Lamé pense qu'il a démontré le grand théorème de Fermat. Ernst Kummer montre par un exemple en 1844 qu'un anneau d'entiers ne dispose pas, en général, d'une décomposition unique en facteurs premiers. Ce résultat invalide la preuve de Lamé. Kummer découvre en 1846 un nouveau concept qu'il baptise nombre complexe idéal pour retrouver sous une nouvelle forme l'unicité nécessaire.

Ces travaux ouvrent la voie à la formalisation de la structure d'anneau. On peut citer Richard Dedekind et David Hilbert parmi les principaux contributeurs. Un anneau euclidien devient un cas particulier simple d'une vaste théorie, la théorie des anneaux. Dans ce contexte, l'anneau euclidien est un cas spécifique d'anneau commutatif unitaire et intègre. Il entre dans la sous-famille des anneaux factoriels et plus précisément des anneaux principaux, un cas particulier d'anneau factoriel. Les anneaux d'entiers étudiés par Kummer entrent dans une famille différente, celle des anneaux de Dedekind.