Existence d'adjoints
Le résultat suivant en est un qui donne l'existence de l'adjoint de certains foncteurs entre des variétés d'algèbres, et on obtient ainsi les cas les plus courants des solution à des problèmes universels.
On note Ω et Θ des signatures d'algèbres et V et W des variétés d'algèbres de type Ω et Θ respectivement.
Théorème. On suppose qu'il existe un foncteur F de la catégorie V dans la catégorie W qui commute aux foncteurs d'oubli dans la catégorie des ensembles, c'est-à-dire tel que, pour toute algèbre A de V, les ensembles sous-jacents à A et F(A) sont égaux et, quels que soient les algèbres A et B de V et l'homomorphisme f de A dans B, les application f et F(f) sont égales. Alors il existe un adjoint à gauche G de F. En particulier, pour toute algèbre A de V et pour toute algèbre C de W, on a une bijection canonique naturelle entre les ensembles d'homomorphismes Hom(F(A), C) et Hom(A, G(C)).
Exemples particuliers. Les cas les plus importants de foncteurs entre V et de W sont cas des foncteurs d'inclusion (avec Ω = Θ), des foncteurs d'oubli (avec Θ inclus dans Ω) ou des foncteur de modification de structures. Voici les exemples les plus courants.
- W est la catégorie des ensembles (Θ est vide) et F est le foncteur d'oubli de V dans la catégorie des ensembles. Un adjoint de F le foncteur d'algèbre libre de la catégorie des ensembles dans V.
- Un adjoint du foncteur d'oubli de la catégorie des groupes commutatifs dans la catégorie des monoïdes commutatifs est le foncteur qui à tout monoïde commutatif M associe le groupe des fractions de M (ce foncteur associé au monoïde additif N des entier naturels le groupe Z des entiers rationnels).
- Un adjoint du foncteur d'inclusion de la catégorie des groupes commutatif dans la catégorie des groupes est le foncteur qui à tout groupe G associé son abélianisé, c'est-à-dire le quotient de G par le groupe dérivé de G.
- Si K est un anneau commutatif, un adjoint du foncteur d'oubli de la catégorie des K-algèbres unitaires associatives (resp. des K-algèbres unitaires associatives commutatives) dans la catégorie des K-modules est le foncteur qui à tout K-module associe son algèbre tensorielle (resp. son algèbre symétrique).
- Un adjoint du foncteur d'oubli de la catégorie des monoïdes dans la catégorie des magma associatifs est le foncteur qui à tout magma associatif S associe le monoïde déduit de S par adjonction d'un élément neutre. De manière analogue, si K est un anneau commutatif, un adjoint du foncteur d'oubli de la catégorie des K-algèbres unitaires associatives dans la catégorie des K-algèbres associatives est le foncteur qui à toute K-algèbre associative E associe la K-algèbre déduite de E par adjonction d'un élément unité.
- Si K et L sont deux anneaux tels que K est un sous-anneau de L, un adjoint du foncteur qui à tout L-module N associe le K-module sous-jacent M est le foncteur d'extension des scalaires. Par exemples, si K est le corps R des nombres réels et L est le corps C des nombres complexes, alors un adjoint de ce foncteur est le foncteur de complexification. Si K et L sont commutatifs, alors on peut remplacer les modules par des algèbres unitaires associatives ou par des algèbres de Lie, et on obtient un foncteur d'extension des scalaires entre les catégories correspondantes.
- Si K est un anneau commutatif, un adjoint du foncteur qui à toute K-algèbre unitaire associative associe son algèbre de Lie (le crochet de Lie étant [x, y] = xy - yx) est le foncteur qui à toute K-algèbre de Lie associe sont algèbre enveloppante.
Exemples généraux
- Si Θ = Ω et si V est inclus dans W le foncteur d'inclusion de V dans W admet un adjoint.
- Si Θ est inclus dans Ω (c'est-à-dire si Θn est inclus dans Ωn pour tout n) et si, pour toute algèbre A de V, la Θ-algèbre sous-jacente à A est une algèbre de W, alors le foncteur d'oubli de V dans W admet un adjoint.
Sauf dans le cas de l'algèbre enveloppente des algèbres de Lie, les exemples précédents sont de ces deux types (inclusion et oubli). Dans ce dernier cas, on obtient un adjoint d'un foncteur de « modification de structure ».
Exemple de géométrie affine. Soit K un corps (commutatif ou non). Il existe une équivalence de catégories entre la catégorie des espaces affines sur K avec applications affines et une variété d'algèbres (voir plus haut). Tout espace vectoriel V sur K peut être considéré comme un espace affine sur K, et on obtient alors un foncteur concret de la catégorie des espace vectoriel sur K dans la catégorie des espaces affines sur K. Il découle alors du théorème précédant que ce foncteur d'oubli admet un adjoint, qui à tout espace affine E sur K associe son espace vectoriel enveloppant Ê: il est caractérisé, à isomorphisme près, par le fait que E est un hyperplan affine de Ê qui ne passe pas par 0. C'est une sorte de version vectorielle du complété projectif de E (l'espace projectif P(Ê) est un complété projectif de E).