Algèbre universelle - Définition

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Sous-algèbres

Définition des sous-algèbres

On définit ici la notions de sous-algèbre, qui généralise les notions usuelles de structures induites (ou sous-structures) des structures algébriques usuelles, par exemples les sous-groupes, les sous-anneaux, les sous-modules (ou sous-espaces vectoriels), etc.

On se donne une fois pour toute une algèbre A de signature Ω.

Définition. Une sous-algèbre de A (ou sous-Ω-algèbre de A si on tient à préciser) est une partie de A qui est stable pour chacune des opérations finitaires de A. De manière plus précise, une partie S de A est une sous-algèbre de A si et seulement si, pour tout entier naturel n, pour tout élément ω de $Ω n$ et quels que soient les éléments $x 1$ , ..., $x n$ de S, $ω A$ ( $x 1$ , ..., $x n$ ) appartient à S. Si n = 0, cela signifie que l'élément $ω A$ de A appartient à S.

Si S est une sous-algèbre de A, alors par restriction à S des opérations de A, on obtient une structure algébrique de signature Ω sur l'ensemble S, dite induite par celle de A, et donc S est donc canoniquement une algèbre de signature Ω. Lorsque l'on considère S comme une algèbre, c'est pour cette structure algébrique sur S.

On peut vérifier que les sous-algèbres correspondent bien aux structures induites pour les structures algébriques usuelles : sous-ensembles pointés, sous-magmas, sous-monoïdes, sous-groupes, sous-anneaux, sous-modules (ou sous-espaces vectoriels), sous-algèbre d'une algèbre sur un anneau commutatif, sous-algèbres unitaires d'une algèbre unitaire sur un anneau commutatif, sous-treillis, sous-algèbres de Boole, etc. Toutefois, les sous-algèbres des corps sont ses sous-anneaux, et non pas nécessairement tous ses sous-corps (l'inversion n'est pas une opération unaire).

Exemple. Soient K un corps et X un espace affine sur K. X est une algèbre en considérant, pour tout entier naturel non nul n et pour toute suite finie de n éléments de K dont la somme est égale à 1, l'opération n-aire qui à une suite de n-points associe le barycentre de ces points affectés de ces éléments de K. Alors les sous-algèbre de X muni de cette structure algébrique sur X ne sont autres que les sous-espaces affines de X. Autrement dit, les sous-espaces affines de X ne sont autres que les parties de X qui sont stables pour les barycentres. L'ensemble vide est une sous-espace affine de X, et donc une sous-algèbre de X.

Propriétés des sous-algèbres

Voici les propriétés élémentaires des sous-algèbres. Le lecteur sera peut être familier avec les énoncés analogues dans les cas des groupes, des anneaux ou des modules. On désigne par A une algèbre.

A est une sous-algèbre de A et, s'il $Ω 0$ est vide (donc s'il n'y pas d'éléments distingués de A), alors l'ensemble vide est une sous-algèbre de A.
Pour toute sous-algèbre B de A, l'injection canonique de B dans A est un homomorphisme.
L'intersection d'un ensemble non vide de sous-algèbres de A est une sous-algèbre de A.
Toute sous-algèbre d'une sous-algèbre de A est une sous-algèbre de A (hérédité des sous-algèbres).
Soient B une algèbre, f un homomorphisme de A dans B. Alors l'image par f d'une sous-algèbre de A est une sous-algèbre de B et l'image réciproque par f d'une sous-algèbre de B est une sous-algèbre de A. En particulier, l'image de f est une sous-algèbre de B.
Soient B une algèbre, f un homomorphisme de A dans B, C et D des sous-algèbres de A et B respectivement. Si f(C) est inclus dans D, alors l'application de C dans D qui coïncide avec f est un homomorphisme. En particulier, la restriction de f à C est un homomorphisme de C dans B.
L'ensemble des points fixes d'un endomorphisme de A est une sous-algèbre de A.
Soient B des algèbres, f et g des homomorphismes de A dans B. Alors l'ensemble des éléments x de A tels que f(x) = g(x) est une sous-algèbre de A.
La réunion d'un ensemble E de sous-algèbres de A qui est filtrant pour la relation d'inclusion (c'est-à-dire, si A et B appartiennent à E, alors il existe un élément de E qui contient A et B) est une sous-algèbre de A, appelée, réunion filtrante de ces sous-algèbres. En particulier, la réunion d'un ensemble totalement ordonné de sous-algèbres de A est une sous-algèbre de A.

La réunion de sous-algèbres n'est pas toujours une sous-algèbre. Par exemple, la réunion de deux droites vectorielles distinctes d'un espace vectoriel E sur un corps n'est pas un sous-espace vectoriel de E.

Les auteurs qui excluent les algèbres vides, excluent généralement les sous-algèbres vides, et alors l'intersection de sous-algèbres n'est pas nécessairement une sous-algèbre, sauf si elle est non vide.

Sous-algèbres engendrées

Définition. Soit X une partie d'une algèbre A. L'intersection de l'ensemble des sous-algèbres de A qui contiennent X est une sous-algèbre G de A, qui est dite engendrée par X. (Cela généralise les sous-groupes engendrés, les sous-anneaux engendrés, les sous-modules engendrés, etc.) Si G = A, alors on dit que X est une partie génératrice de A et que X engendre A. On définit de manière analogue les familles génératrices et les familles qui engendrent.

Définition. S'il existe une partie génératrice finie d'une algèbre A, on dit que A est de type fini. S'il existe un élément de A qui engendre A, alors on dit que A est monogène. Cela généralise les notions analogues que l'on rencontre en théorie des groupes, des anneaux, des modules, etc.

Proposition. Pour la relation d'inclusion, l'ensemble des sous-algèbres d'une algèbre A est un treillis complet, c'est-à-dire, tout ensemble de sous-algèbres admet une borne inférieure et une borne supérieure pour la relation d'inclusion. La borne inférieure d'une famille de sous-algèbres est son intersection et la borne supérieure est la sous-algèbre engendrée par sa réunion.