Algèbre universelle - Définition

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Produits d'algèbres

Produits d'algèbres

Les notions de produit (direct) d'algèbres de groupes, d'anneaux et de modules se généralisent dans le cadre général de l'algèbre universelle.

Soit (A_i)_{i \in I} une famille d'algèbres de signature Ω indexée par un ensemble (fini ou non) et P le produit des ensemble sous-jacents à ces algèbres.

Définition. Il existe une unique structure algébrique de signature Ω sur P telle que, tout entier naturel n et pour tout élément ω de Ωn, ωA(x1, ..., xn) = (\omega_{A_i}(x_{1i}, ..., x_{ni}))_{i \in I} pour tout élément xk = (x_{ki})_{i \in I} de P, avec k = 1, ..., n. On dit que l'algèbre qu'est P muni de cette structure algébrique est le produit direct ou le produit ou l' algèbre produit. de cette famille d'algèbres. On la note \prod_{i \in I} A_i. Si I = {1, ..., n}, la note aussi A1 × ... × An.

Exemple. Prenons le cas de deux algèbres A et B. Alors, la structure d'algèbre de A × B est définie de la manière suivante : pour tout entier naturel n, pour tout élément ω de Ωn, quels que soient les éléments ai de Ai et bi de Bi, avec i = 1, ..., n, on a \omega_{A\times B}((a1, b1), ..., (an, bn)) = (ωA(a1, ..., an), (ωB(b1, ..., bn).

Voici quelques propriétés élémentaires des produits d'algèbres.

  • Les projecteurs canoniques de \prod_{i \in I} A_i. (qui à un élément associent sa composante d'indice donné) sont des homomorphismes surjectifs.
  • La structure algébrique de \prod_{i \in I} A_i est l'unique structure algébrique sur l'ensemble \prod_{i \in I} A_i pour laquelle les projecteurs canoniques sont des homomorphismes.
  • Soit, pour tout i dans I, fi un homomorphisme d'une algèbre Ai dans une algèbre Bi. Alors l'application \prod_{i \in I} f_i de \prod_{i \in I} A_i dans \prod_{i \in I} B_i qui à (x_i)_{i \in I} associe (f_i(x_i))_{i \in I} est un homomorphisme.
  • Soit, pour tout i dans I, Bi une sous-algèbre de Bi. Alors \prod_{i \in I} B_i est une sous-algèbre de \prod_{i \in I} A_i.
  • Le produit d'algèbres est associatif et commutatif, en un sens à préciser que le lecteur pourra déterminer (de manière analogue au produit cartésien d'ensembles).
  • Le graphe d'un homomorphisme entre deux algèbres A et B est une sous-algèbre de A × B.

Voici la propriété fondamentale des produits d'algèbres.

Théorème. Soient, pour tout i dans I, pi le projecteur canonique du produit \prod_{i \in I} A_i (à un élément on associe sa composante d'indice i) et soit B une algèbre. Quels que soient les homomorphismes fi de B dans Ai (pour tout i dans I), il existe un unique homomorphisme g de B dans \prod_{i \in I} A_i tel que, pour tout i dans I, p_i \circ g = f_i (c'est l'homomorphisme dont les composantes sont les fi).

Le produit défini correspond au produit en termes de théorie des catégories.

Algèbre des applications

Soient A une algèbre et X un ensemble. L'ensemble des applications de X dans A s'identifie au produit AX d'algèbres toutes égales à A. Il s'ensuit donc qu'il existe une structure algébrique canonique sur l'ensemble des applications de X dans A. Plusieurs exemples d'algèbres sont des sous-algèbres de des algèbres des applications d'un ensemble dans une algèbre.

Exemple. Soit E un espace topologique (un intervalle du corps R des nombres réels, par exemple). L'ensemble des fonctions de E dans R, ou dans le corps C des nombres complexes, est un anneau, et l'ensemble des fonctions continues de E dans R, ou C, est un sous-anneau de cet anneau. Si on note V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, l'ensemble des applications de E dans V est un espace vectoriel réel ou complexe et l'ensemble des applications continues de E dans V est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel. On retrouve d'algèbres de ce type en analyse (anneaux ou espaces vectoriels d'applications continues, différentiables, analytiques, espace vectoriel d'applications intégrables, etc.).

Voici quelques propriétés de l'algèbre des applications.

  • L'application diagonale de A dans AX (qui à un élément de A associe l'application constante correspondante) est un homomorphisme.
  • Pour tout élément x de X, l'évaluation en x, qui à une application de X dans A associe sa valeur x, est un homomorphisme de AX dans A (c'est projecteur du produit).
  • Pour toute partie Y de X, l'application de AX dans AY qui à une application de X dans A associe sa restriction à Y est un homomorphisme.

Soient A et B des algèbres. L'ensemble des homomorphismes de A dans B n'est pas nécessairement une sous-algèbre de l'algèbre des applications de A dans B. Toutefois, c'est le cas pour les monoïdes commutatifs, les groupes commutatifs, les modules sur un anneau commutatif, mais pas pour les anneaux.

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