Les notions de produit (direct) d'algèbres de groupes, d'anneaux et de modules se généralisent dans le cadre général de l'algèbre universelle.
Soit une famille d'algèbres de signature Ω indexée par un ensemble (fini ou non) et P le produit des ensemble sous-jacents à ces algèbres.
Définition. Il existe une unique structure algébrique de signature Ω sur P telle que, tout entier naturel n et pour tout élément ω de Ωn, ωA(x1, ..., xn) = pour tout élément xk = de P, avec k = 1, ..., n. On dit que l'algèbre qu'est P muni de cette structure algébrique est le produit direct ou le produit ou l' algèbre produit. de cette famille d'algèbres. On la note . Si I = {1, ..., n}, la note aussi A1 × ... × An.
Exemple. Prenons le cas de deux algèbres A et B. Alors, la structure d'algèbre de A × B est définie de la manière suivante : pour tout entier naturel n, pour tout élément ω de Ωn, quels que soient les éléments ai de Ai et bi de Bi, avec i = 1, ..., n, on a ((a1, b1), ..., (an, bn)) = (ωA(a1, ..., an), (ωB(b1, ..., bn).
Voici quelques propriétés élémentaires des produits d'algèbres.
Voici la propriété fondamentale des produits d'algèbres.
Théorème. Soient, pour tout i dans I, pi le projecteur canonique du produit (à un élément on associe sa composante d'indice i) et soit B une algèbre. Quels que soient les homomorphismes fi de B dans Ai (pour tout i dans I), il existe un unique homomorphisme g de B dans tel que, pour tout i dans I, (c'est l'homomorphisme dont les composantes sont les fi).
Le produit défini correspond au produit en termes de théorie des catégories.
Soient A une algèbre et X un ensemble. L'ensemble des applications de X dans A s'identifie au produit AX d'algèbres toutes égales à A. Il s'ensuit donc qu'il existe une structure algébrique canonique sur l'ensemble des applications de X dans A. Plusieurs exemples d'algèbres sont des sous-algèbres de des algèbres des applications d'un ensemble dans une algèbre.
Exemple. Soit E un espace topologique (un intervalle du corps R des nombres réels, par exemple). L'ensemble des fonctions de E dans R, ou dans le corps C des nombres complexes, est un anneau, et l'ensemble des fonctions continues de E dans R, ou C, est un sous-anneau de cet anneau. Si on note V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, l'ensemble des applications de E dans V est un espace vectoriel réel ou complexe et l'ensemble des applications continues de E dans V est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel. On retrouve d'algèbres de ce type en analyse (anneaux ou espaces vectoriels d'applications continues, différentiables, analytiques, espace vectoriel d'applications intégrables, etc.).
Voici quelques propriétés de l'algèbre des applications.
Soient A et B des algèbres. L'ensemble des homomorphismes de A dans B n'est pas nécessairement une sous-algèbre de l'algèbre des applications de A dans B. Toutefois, c'est le cas pour les monoïdes commutatifs, les groupes commutatifs, les modules sur un anneau commutatif, mais pas pour les anneaux.