Algèbre nouvelle - Définition
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Zététique, Poristique et Exégétique
Comme le suggère Maximilien Marie dans son cours à polytechnique:
« Il nous reste à présenter l'analyse des principaux de ses ouvrages, qui sont, dans l'ordre où les a placés Schooten : In artem Analyticen Isa{oge ; Ad Logisticen speciosam notœ priores; Zeteticorum libri quinque ; De Recognitione œquatiomis; De Emendatione œquationum ; De numerosa potestatiim purarum Resolutione ; Effectionum geometricarum canonica Recensio; Supplementum Geometriœ ; et le Pseudo Mesolabum et alla quœdam adjuncta Capitula: »
Ces livres sont dans l'ordre chronologique d'impression : les cinq livres de la Zététique, puis Effectionum Geometricarum Canonica recensio, Supplementum geometriae, Variorum de Rebus Mathematicis Responsorum - Liber VIII, De Numerosa Potestatum ad Exegesim resolutione et enfinn à titre postume : De Recognitione œquationum et De Emendatione œquationum.
Les cinq livres de la Zététique.
Dans la foulée de l'Isagoge, Viète publie le Zeteticorum libri quinque, qui complète et enrichit l'algèbre nouvelle. Zététique vient du grec zêtêin : chercher à pénétrer la raison des choses.
Cet ouvrage est composée de cinq livres renfermant dix problèmes de recherche de quantités dont on connaît la somme ou la différence et le quotient ou le produit, des équations de degré 2 et 3 et des partitions de nombres en carrés. Il y offre un exemple de la logistique symbolique et termine avec un problème de Diophante.
Ces cinq livres développent la méthode proposée dans l’Isagoge.
L'algèbre nouvelle y est présenté comme un nouveau langage pour formaliser le calcul mais aussi comme l’instrument permettant de poser et de résoudre de nouveaux problèmes. Ces livres sont un banc d’essai, où Viète traite des questions soulevées par Diophante à la façon des anciens mais aussi, particulièrement dans le livre III, des questions nouvelles, sans équivalents chez Diophante.
On y trouve entre autres, le joli problème suivant :
Dato adgregato extremarum, et adgregato mediarum in serie quatuor continue roportionalium, invenire continue proportionales.
Et quelques questions d'arithmétiques résolus à l'aide de triangles rectangles rappelant par leurs longueurs les parties réelles et imaginaires du produit de 2 nombres complexes. On donne ci dessous un résumé des questions exposées dans quelques uns de ces livres ; on les donne traduits en langage moderne d'après l'original et les traductions de Vaulezard, celles de Frédéric Ritter dans ses notes.. et l'exposé qu'en fait Jean Grisard dans sa thèse de 1968.
Viète résout, algébriquement, puis géométriquement, en mêlant le formalisme et la rhétorique les 22 problèmes suivants :
- sachant a et b donnés, déterminer x et y telq que
- xy = a et
- xy = a et
- xy = a et x − y = b
- xy = a et x + y = b
- x − y = a et
- x + y = a et
Il monte l'identité remarquable : x2 − y2 = (x − y)(x + y) et l'utilise pour résoudre :
- x + y = a et
- xy = a et
- xy = a et
- x = a et
- x + y = a et
- xy = a et
et 
et 
- xy = a et
- xy = a et
- x + y = a et
- x + y = a et
- x − y = a et
et 
et
Une partie de ces questions (de 1 à 8, la cinquième exceptée, ainsi que 17, 18) ont déjà été soulevées par Diophante. Néanmoins, Viète ne les exploite qu'afin de montrer l'application de sa méthode et comment se mène l'analyse spécieuse ; il livre également une exégétique numéreuse et une exégétique géométrique à la fin de chaque question.
Viète résout, algébriquement, puis géométriquement, en mêlant le formalisme et la rhétorique les 16 problèmes suivants qu'on traduit en langage moderne :
- sachant x,y et z, en progression géométrique (c'est-à-dire que
); déterminez-les, pour a et b donnés, si :
- y = a et x − z = b
- y = a et x + z = b
Dans un triangle rectangle, de base x et de hauteur y, d'hypoténuse h, déterminez-les, pour a et b donnés, si :
- y = a et h − x = b
Il fait remarquer au passage que x + h,y,x + h sont alors en progression géométrique et l'utilise pour résoudre :
- y = a et x + h = b
- x − y = a et h = b
- x + y = a et h = b
Il monte l'identité remarquable : 2h2 − (x − y)2 = (x + y)2 ; puis que, deux nombres étant donnés x2,xy,y2 sont en progression géométrique. Il propose alors de vérifier que le triangle de base x-y, d'hypoténuse x+y et de hauteur 
est rectangle.
Viète revient alors aux questions initiales ; sachant x,y et z, en progression géométrique ; déterminez-les, pour a et b donnés, si :
- x = a et
- x + z = a et
- y = a et
Viète fait remarquer au passage que dans ce cas : 
Il passe alors a des problèmes comportant quatre grandeurs continuellement proportionnelles (x,y,z,t, tels que y=Ax,z=Ay,t=Az) et propose de les déterminer si a et b sont donnés et si
- x = a et
- t − x = a et z − y = b
- t + x = a et z + y = b
Aucune de ces questions n'a été soulevée par Diophante. Dans ce livre, Viète commence à accélérer ses démonstrations, ramenant chaque fois qu'il le peut la construction de l'exégétque ou la discussion poristique à un cas déjà vu antérieurement. On y lit des maths en marche et Viète semble réellement avoir conscience de la formidable machine à résoudre qu'il vient de créer.
Viète résout, algébriquement, puis géométriquement, en mêlant le formalisme et la rhétorique les 20 problèmes suivants qu'on traduit en langage moderne :
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels sachant que
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels
- Montrer que dans un triangle rectangle de base b, de hauteur p, d'hypoténuse h,
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels
- Montrer les égalités :
- Montrer les égalités de surface des trois triangles rectlanges de base et de hauteur respéctives :
- Déterminer trois triangles rectangles dont le produit des hauteurs est au produit des bases dans un rapport de carrés.
- Déterminer trois triangles rectangles dont la différence entre le produit des hauteurs et le produit des bases est un carré.
- Déterminer trois triangles rectangles dont la somme du produit des hauteurs et du produit des bases est un carré.
- Déterminer trois triangles rectangles dont le quotient du produit des hypoténuses par le produit des bases est un carré.
- Déterminer x,y,z en progression géométriques tels que
- Déterminer x,y,z,t en progression géométriques tels que
- Déterminer x,y,z,t en progression géométriques tels que
La nouveauté de ce procédé fait écrire à Grisard dans sa thèse :
« Que dire en conclusion qui n'ait été dit sur les Zététiques ? Ils sont peut-être un des ouvrages les plus importants de l'histoire des mathématiques. En effet, marquent un tournant, ils constituent une période charnière entre les mathématiques classiques, au XVIe siècle, héritées par un canal ou un autre, des anciens, et les mathématiques de type moderne (lesquelles sont elles-mêmes en train de devenir classiques, aujourd'hui. »
L'Exégétique géométrique, le Canon
En 1593, dans Effectionum Geometricarum Canonica recensio ou revue canonique des constructions géométriques , Viète commence par démontrer les relations entre les constructions géométriques et les équations algébriques. Son objet est la résolution graphique des équations du second degré ; on y trouve également les solutions de problèmes de géométrie du second degré, traités algébriquement.
La poristique, Le Supplémentum
En 1593, dans le Supplementum geometriae, Viète donne une caractérisation plus complète de la poristique. On y trouve : la trisection de l'angle ; la construction de l'heptagone régulier ; la résolution des équations cubiques ou quadrato-quadratiques et leur équivalence aux problèmes de trisection angulaire.
En 1592-1593, dans Variorum de Rebus Mathematicis Responsorum, Liber VIII, Viète donne une réponse aux problèmes soulevés par Scaliger. Il y traite à nouveau des problèmes de duplication du cube et de trisection de l'angle. Ce qu'il appelle un problème irrationnel.
L'exégétique numérique, le De Numerosa
En 1600, dans De Numerosa Potestatum ad Exegesim resolutione, Viète, aidé par Marin Ghetaldi, se fixe pour but initial de résoudre des équations de degrés quelconques à l'aide de radicaux. Cette croyance sera déçue définitivement par Niels Abel en 1828. Il donne en compensation une méthode d'approximation des racines d'une équation. Cette méthode influencera Newton et la règle de Newton-Raphson lui doit beaucoup. Joseph Raphson l'a énoncé en 1690.
Publications posthumes
- le De Recognitione
En 1615, dans le De Recognitione œquationum publié par Anderson, on trouve parmi vingt chapitres assez répétitifs, le lien entre coefficients et racines, des équations dans lesquelles l'inconnue entre par son cube et sa première puissance, La manière de faire disparaître le second terme d'une équation (ou méthode de Ferrari pour la résolution des équations de degré 4) et l'équivalence entre les équations du troisième degré et connaissant la première de quatre grandeurs continûment proportionnelles, et la différence entre la seconde et la quatrième, de trouver cette seconde. Viète donne encore dans cet ouvrage quelques moyens d'abaisser le degré d'une équation. Maximilien Marie, les résume sur quelques pages :
« Après avoir indiqué, dans les deux premiers chapitres, les questions qu'il traitera et les moyens qu'il emploiera pour les résoudre, Viète s'occupe, dans le troisième et le quatrième, de former les énoncés les plus généraux des problèmes de Géométrie pouvant conduire aux équations quadratiques et cubiques ; celles-ci manquant d'abord du terme qui contiendrait le carré de l'inconnue. Il montre qu'il s'agit toujours de problèmes relatifs à trois ou quatre grandeurs continuement proportionnelles. Il distingue, dans chacun des deux degrés, trois cas,... car la manie des distinctions n'était pas encore tombée en désuétude. »
Les questions se ramènent à : connaissant la moyenne de trois grandeurs continuement proportionnelles et la différence ou la somme des extrêmes ; trouver la plus petite de ces extrêmes, la plus grande ou les deux extrèmes. Les mêmes questions se posent si, connaissant la première de quatre grandeurs continuement proportionnelles et la somme de la seconde et de la quatrième, de trouver la seconde. Ces équations se ramènent aux problèmes suivants : connaissant la première de quatre grandeurs continuement proportionnelles et la différence entre la quatrième et la seconde, de trouver cette seconde.
Viète traite de même, les trois équations cubiques dans lesquelles l'inconnue entre par son cube et son quarré, qu'il ramène par ailleurs à celles où l'inconnue entre par son cube et sa première puissance. Dans le chapitre VII ali methodo transmutandarum œquationum il donne les transformations qui altèrent les racines, et celles où les racines demeurent invariables.
On y trouve comment augmenter ou à diminuer toutes les racines d'une grandeur donnée ou les modifier en les multipliant par une raison donnée. Enfin, Viète enseigne la manière de faire disparaître le second terme d'une équation ; procédé mis en œuvre dans les Chapitres IX, X, XI, XII, XIII et XIV.
Dans le chapitre XV est exposée la théorie des équations du second degré (Viète ne considère que les racines positives)
Dans le chapitre XVI, il donne les liaisons entre les coefficients et les racines.
- le De Emendatione
Dans le De Emendatione œquationum, publié la même année par Anderson, et composé de quatorze chapitres, on trouve les noms que Viète donnait à quelques opérations algébriques : L'Isomérie pour faire disparaître les dénominateurs des équations sans introduire de coefficient à la plus haute puissance de l'inconnue ; la climactique Paraplérosine pour ramener une équation du quatrième degré à une équation du second en prenant comme intermédiaire une équation du troisième, méthode semblable à celle de Ferrari (que Viète redécouvre à l'occasion). On y retrouve également (sous le nom de duplicata Hypostasîs) la résolution des équations du troisième degré (Cardan n'ayant publié que la vérification d'une formule juste, mais empirique).
Enfin, ce livre expose (par l'exemple et jusqu'au degré 5) la décomposition d'un polynôme ayant autant de solutions que son degré.