Algèbre géométrique - Définition et Explications

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Introduction

Paul Tannery popularise l'expression algèbre géométrique.

En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes géométriques, utilisées par les grecs de l'antiquité, pour établir des résultats maintenant classés dans la branche mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que...) appelée algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...). Ces techniques permettent la mise en évidence des propriétés élémentaires de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), d’effectuer des calculs comme la somme des premiers nombres entiers, ou impairs. Elles permettent d’établir des résultats comme des identités remarquables (En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des entiers relatifs, dans l'ensemble des réels, dans...) ou de résoudre une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :). L’algèbre géométrique fournit aussi des méthodes de résolution plus complexes, comme celles qui montrent l’existence de nombres irrationnels.

Si ces méthodes sont anciennes et correspondent à une vision des mathématiques qui n'est plus la notre, elles sont toujours utilisées dans l’enseignement, soit pour donner des preuves simples de certains résultats, soit pour développer une conscience intuitive de résultats qu'une présentation algébrique rendrait plus abstraits.

Le terme « algèbre géométrique » provient d’un livre de l’historien des sciences Hieronymus Georg Zeuthen , écrit en 1902. Il est popularisé par Paul Tannery l'année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) suivante. Les livres II et VI des Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un...) en forment le cœur. Si une lecture contemporaine permet d'interpréter de manière algébrique les résultats démontrés ainsi, tel n'était néanmoins pas la lecture des grecs qui n'avaient pas découvert les principes fondateurs de l'algèbre. Pour cette raison, cette lecture apocryphe de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que...) grecque est parfois critiquée.

L'expression « algèbre géométrique » est aussi utilisée en mathématiques pures, elle correspond alors à un concept moins élémentaire. Elle désigne une branche contemporaine des mathématiques consistant à associer une géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) à une structure d'algèbre. Cet aspect est traité dans l'article Algèbre géométrique (En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes géométriques, utilisées par les grecs de l'antiquité, pour...) (structure). Les termes géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) dont les coordonnées...) désignent une branche différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie...) des mathématiques, constituée d'un savoir essentiellement acquis au XIXe siècle et XXe siècle et toujours d'actualité en recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) mathématiques. Ces terme désignent alors l'approche opposée, consistant à utiliser des techniques algébriques pour résoudre des problèmes de géométrie.

Propriétés de la multiplication

Nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier positif

4 x 3 = 3 x 4

On peut remarquer que 4 x 3 est égal à 3 x 4 et, de manière plus générale « le produit de nombres entiers ne dépend pas de l’ordre des facteurs ».

Pour se persuader de l’exactitude de ce résultat, on peut considérer des petits carrés, tous de même dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...), assemblés en rangées de 3. En accolant verticalement 4 rangées de 3, on obtient un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) de base 4 cotés de petits carrés et de hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) 3. Ce rectangle, illustrée sur la figure de gauche, contient 4 x 3 = 12 petits carrés. Appliquer un quart de tour au rectangle ne modifie pas le nombre de petits carrés le composant, ce qui montre que le résultat de 4 x 3 correspond au nombre de petits carrés composant le rectangle associé à l’opération 3 x 4. Ce résultat ne dépend pas des valeurs 3 et 4, on peut choisir deux nombres entiers quelconques que l’on peut noter a et b. L’égalité, qui s’écrit de la manière suivante, traduit se que l’on appelle la commutativité de la multiplication :

La multiplication est distributive par rapport à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature,...).
a \times b = b\times a

La commutativité de la multiplication n’est pas l’unique propriété s’illustrant à l’aide de la géométrie. La figure de droite peut se lire de deux manières différentes. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) d’abord, le grand rectangle est la somme des aires des rectangles bleus et rouges. Le raisonnement précédent montre que son aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) est égale à 9 x 3 + 9 x 4. On peut le voir aussi comme un unique rectangle, s'il l'on ne tient pas compte des couleurs, d’aire égale à 9 x (3 + 4). Ces deux écritures correspondent donc au même nombre. Une fois encore, le résultat est vrai non seulement pour les nombres 9, 3 et 4, mais aussi pour n’importe quel ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) de trois nombres, que l’on peut noter a, b et c. On obtient le résultat suivant, appelé distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) de la multiplication par rapport à l’addition.

a \times b + a\times c = a\times (b+c)

Ainsi, l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de la géométrie et plus spécifiquement le calcul des aires permet d'établir certaines propriétés de la multiplication. Ce principe est la base de l'algèbre géométrique.

Fraction

Pour faire de la géométrie, les nombres entiers ne suffisent pas toujours. Une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme...) peut être égale à la moitié d'une autre. Les grecs ont donc été amenés à établir les règles opératoires régissant les fractions. Une fois encore le calcul des aires est utile. Pour illustrer cette approche, cherchons à additionner 1/6 et 4/9. Considérons pour cela un rectangle dont l’aire est égale à 1. On choisit deux quadrillages qui décomposent le rectangle en petits rectangles identiques. On choisit ces quadrillages compatibles, c'est-à-dire que la superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position, quantité de mouvement...) des quadrillages est encore un quadrillage en petits rectangles tous identiques, comme l’illustre la figure ci-dessous :

Fraction sum3.svg

La première représentation du rectangle montre que la fraction 1/6 est représentée par un quadrillage découpant le rectangle en 6 petits rectangles, la superposition des quadrillages en crée 18 et 1/6 = 3/18. On obtient finalement les égalités :

\frac16 + \frac 49 = \frac 3{18} + \frac 8{18} = \frac {11}{18}

D'une manière générale, si a, b, c, et d sont des nombres entiers tels que ni b ni d ne sont nuls, alors :

\frac ab = \frac {d\cdot a}{d\cdot b}\quad \text{et}\quad \frac ab + \frac cd = \frac {a\cdot d + c\cdot b}{b\cdot d}

L’article détaillé montre comment la démarche permet de déterminer toutes les règles opératoires des fractions.

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