Algèbre de Lie - Définition

Classification

Si et sont deux sous-algèbres de Lie d'une algèbre de Lie , notons le sous-espace vectoriel engendré par les éléments de la forme [a,b] pour et .

Algèbres de Lie nilpotentes

Une algèbre de Lie est dite nilpotente lorsque toute suite de commutateurs finit par être nulle, lorsque n devient suffisamment grand.

Plus précisément, définissons C_i par et .

S'il existe un i tel que C_i=0, on dit que est nilpotente. Cette notion est à mettre en parallèle avec celle de groupe nilpotent. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie abélienne est nilpotente.

L'algèbre des matrices triangulaires strictes, c'est-à-dire de la forme fournit un exemple d'algèbre de Lie nilpotente.

Le théorème d'Engel affirme que toute sous-algèbre nilpotente de est en fait simultanément trigonalisable et donc conjuguée à une sous-algèbre de .

Algèbres de Lie résolubles

Définissons par récurrence D_i par et D_{i + 1} = [D_i,D_i]

S'il existe un i tel que D_i=0, on dit que est résoluble. Comme dans le cas des algèbres nilpotentes, cette notion correspond à celle de groupe résoluble. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie nilpotente est résoluble.

Un exemple d'algèbre de Lie résoluble est donné par l'algèbre des matrices triangulaires supérieures dans .

Le théorème de Lie montre que, si est algébriquement clos et de caractéristique nulle, alors toute sous-algèbre de Lie résoluble de est conjuguée à une sous-algèbre de

Algèbres de Lie semi-simples et réductives

On dit qu'une algèbre de Lie est semi-simple lorsqu'elle ne contient pas d'idéal résoluble non trivial. est dite réductive lorsque sa représentation adjointe est semi-simple.

Lorsque est de caractéristique nulle, et que est de dimension finie, la semi-simplicité de est équivalente à la non-dégénerescence de la forme de Killing K(x,y) définie par K(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), où tr désigne la trace. Par ailleurs, est réductive si et seulement si est semi-simple.

On peut montrer que, sous les mêmes hypothèses, toute algèbre de Lie semi-simple est en fait une somme directe d'algèbres de Lie simples.

Les algèbres de Lie simples de dimension finie sur le corps des nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algèbres de Lie simples (ou 3 si on considère B_n et D_n comme une même famille) et 5 algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune à un diagramme de Dynkin différent.

• À un diagramme de Dynkin de type correspond l'algèbre de Lie .

• À un diagramme de Dynkin de type correspond l'algèbre de Lie .

• À un diagramme de Dynkin de type correspond l'algèbre de Lie .

• À un diagramme de Dynkin de type correspond l'algèbre de Lie .

• Les algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant aux diagrammes de Dynkin restants (de type E₆, E₇, E₈, F₄ et G₂) n'ont pas d'interprétation aussi simple.

L'algèbre de Lie est, elle, réductive et son algèbre de Lie dérivée est .

Les algèbres de Lie semi-simples de dimension finie sur le corps des nombres réels sont classifiées par les involutions d'algèbres de Lie complexe ou, de façon équivalente, par les involutions de systèmes de racines. Ceci correspond à la notion d'algèbre de Lie symétrique. Comme classe d'algèbre de Lie simple réelle, on peut citer:

• Les algèbres de Lie compactes. Ce sont les algèbres de Lie de groupes compacts. Il y en a exactement une qui correspond à chaque algèbre de Lie complexe.

• Les algèbres de Lie complexes vues comme algèbres de Lie réelles.

• Les autres peuvent être classées en familles AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII et en algèbres exeptionelles

EI, EII, EIII, EIV (de type E₆) EV, EVI, EVII (de type E₇) EVIII, EIX (de type E₈) FI, FII (de type F₄) et GI (de type G₂) suivant la notation d'Helgason)

Dimension infinie

Il n'y a pas de classification générale des algèbres de Lie de dimension infinie mais plusieurs classes de telles algèbres ont été étudiées.

• Une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie définie abstraitement en termes de générateurs et relations codés par une matrice de Cartan généralisée non nécessairement définie positive. Elles peuvent donc être de dimension infinie. Leur classification générale est encore hors de portée mais plusieurs sous-types sont connus
  • Une algèbre de Kac-Moody affine possède la propriété que tous les sous-diagrammes de Dynkin de son diagramme de Dynkin correspondent à des sous-algèbres de Lie de dimension finie. Sa matrice de Cartan généralisée est alors de corang 1. Les algèbres de Kac-Moody affines ont été classifiées par Victor G. Kac. Elles sont très utilisées en physique théorique dans l'étude des théories conformes des champs et en particulier dans l'étude des modèles WZW.
  • Une algèbre de Kac-Moody hyperbolique possède un diagramme de Dynkin connexe avec la propriété que si on lui retire une racine, on obtient une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie ou bien une algèbre de Kac-Moody affine. Elles ont été également classifiées et sont de rang 10 au maximum. Leur matrice de Cartan généralisée est non dégénérée et de signature Lorentzienne (c’est-à-dire avec exactement une direction négative).
• algèbre de Kac-Moody généralisée ou algèbre de Borcherds: c'est un type d'algèbre de Lie généralisant le concept d'algèbre de Kac-Moody dont la matrice de Cartan généralisée peut posséder des racines simples nommées imaginaires pour lesquelles l'élément diagonal de la matrice de Cartan généralisée est négatif. Elles ont été introduite par Richard Ewen Borcherds dans le cadre de l'étude de la conjecture moonshine.