Alexandre Grothendieck - Définition

Travaux et influence

Le gros de l’œuvre de Grothendieck est publié dans les monumentaux, quoique inachevés, Éléments de géométrie algébrique (EGA) et dans le Séminaire de géométrie algébrique (SGA). La collection Fondements de la géométrie algébrique (FGA) réunit pour sa part sa série d'exposés au séminaire Bourbaki.

Une avancée fondamentale que l’on doit à Grothendieck est l’invention de la théorie de la cohomologie étale et de la cohomologie l-adique, qui servirent de fondement pour faire passer les conjectures de Weil au stade de théorème, en particulier grâce au travail de Pierre Deligne, l'un des élèves de Grothendieck.

Par ailleurs, son travail a servi de base à Gerd Faltings pour démontrer la conjecture de Mordell, connue depuis comme le théorème de Faltings.

Dans son autobiographie, il classe ainsi ses contributions majeures :

1. produit tensoriel topologique et espaces nucléaires
2. dualité continue et discrète (théorie des catégories).
3. théorème de Riemann-Roch-Grothendieck (K-théorie en relation avec la théorie des intersections).
4. schéma
5. topos
6. cohomologie étale et cohomologie l-adique
7. motif (en) et groupe de Galois motivique
8. cristal et cohomologie cristalline
9. algèbre topologique, formalisme topologique des topos comme source d’inspiration d’une nouvelle algèbre homotopique
10. géométrie anabélienne

En janvier 2010, il déclare, dans une lettre adressée au mathématicien Luc Illusie, qu'il refuse toute diffusion de ses œuvres que ce soit par édition numérique ou publication/republication papier.