Action de groupe (mathématiques) - Définition

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- Introduction - Définition - Orbites, stabilisateurs et points fixes - Exemples - Formule des classes, formule de Burnside - Caractéristiques des actions de groupe - Formule de Burnside - Formule des classes

Caractéristiques des actions de groupe

Action transitive

Une action est dite transitive si elle possède une seule orbite. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace peuvent être envoyés l'un sur l'autre par l'action d'un élément du groupe : $\forall x,y\in X, \exists g\in G, y=g.x$ .

Action libre

Une action est dite libre si tous les stabilisateurs sont réduits au neutre, autrement dit si tout élément différent du neutre agit sans point fixe : $\forall x \in E, St_x = \{e\}$ .

Action fidèle

Une action est dite fidèle (on dit parfois aussi effective) si l'intersection des stabilisateurs de tous les éléments est réduite au neutre. Une action libre est fidèle.

De façon équivalente, une action est fidèle si l'application

définie par $g \cdot x = (\phi(g))(x)$ est injective.

Action simplement transitive

Ce terme a été l'objet de plusieurs controverses sur son interprétation. Pour certains, cela signifie que l'action n'est que transitive, pour d'autres qu'elle est au moins transitive mais a d'autres propriétés, notamment celle d'être une action directe. Enfin, une troisième école affirme que l'action est à la fois transitive et simple, tout en affirmant que « simplement transitive » est légèrement (pas au sens d'une action légère) différente d'une action « librement transitive ». Toutefois cette école s'est elle-même divisée entre ceux qui prenaient « librement transitive » au sens de libre et transitive, et ceux qui y voyaient une nuance, et de taille, dans la mesure ou la terminologie « simplement transitive » renvoie à des axiomes différents par deux aspects : on ajoute aux axiomes qui définissent une action transitivement simple l'hypothèse que l'action est légèrement différente ; il restait donc à ce courant de bien définir cette action :

Une action est dite simplement transitive si elle est à la fois transitive et libre. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace sont envoyés l'un sur l'autre par un et un seul élément du groupe : $\forall x,y\in X, \exists!g\in G, y=g.x~.$

Formule de Burnside

Soit $A = \{(g,x) \in G \times E / gx=x\}$ .

On peut écrire en désignant par $Ω$ l'ensemble des orbites:

Mais les stabilisateurs de 2 éléments d'une même orbite sont conjugués (l'un est l'image de l'autre par un automorphisme intérieur) et ont donc le même cardinal. Donc en désignant par $c ω$ ce cardinal: $\sum_{x \in \omega} card \ St_x \ = \ card \ \omega . c_\omega$ . Il résulte alors de la formule des classes (cf. ci-dessus) que $card \ \omega . c_\omega \ = \ card \ G$ .

Donc $card \ A \ = \ card \ \Omega.card \ G$ .

Mais on peut aussi calculer card A en groupant différemment les éléments:

$card \ A \ = \ \sum_{g\in G} \ card \{ x \in E \ / \ gx=x \} \ = \ \sum_{g \in G} card \ Fix \ (g)$

Et en écrivant l'égalité des 2 expressions de $card \ A$ trouvées, on obtient la formule demandée:

Formule des classes

x étant fixé dans $\quad E$ , soit dans $\quad G$ la relation d'équivalence $\mathcal{R} : g\sim g' \Leftrightarrow g^{-1}.g' \in St_x.$ Les classes d'équivalence ne sont autres que les classes à gauche pour $\quad St_x$ .

Ces classes ont donc toutes le même cardinal, celui de $\quad St_x$ .

Soit $γ$ l'application de $\quad G$ dans $O x$ , orbite de $x$ : $g \mapsto g.x$ .

Deux éléments de $\quad G$ ont même image par $γ$ si et seulement s'ils sont équivalents selon $\mathcal{R} \ (g.x=g'.x \ \Leftrightarrow g'^{-1}g.x=x \ \Leftrightarrow g'^{-1}.g \in St_x \Leftrightarrow \ g \ \mathcal{R} \ g' )$ . On peut donc effectuer la factorisation canonique $\gamma = \tilde \gamma \circ \sigma$ où $σ$ désigne la surjection canonique de $\quad G$ sur $G/\mathcal{R}$ et $\tilde \gamma$ l'injection quotient qui est en réalité bijective puisque $γ$ est surjective (par définition même de l'orbite). Il en résulte immédiatement la formule annoncée : $card \ O_x =card \ (G/ \mathcal R) \ = \ card \ G /card \ St_x$ .