Les aiguilles de montre

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niaina
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Les aiguilles de montre

Message par niaina » 21/04/2007 - 11:43:18

:fada: :fada: Comment savoir à quelle heure ils se superposent exactemnt :fada: :fada:

Victor
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Message par Victor » 21/04/2007 - 12:41:26

en théorie il n'y a que midi et minuit ou les 3 aiguilles se superposent exactement tu n'as qu'à faire le raisonnement pour 1h 05, 2h 10 etc.
Tu verras il y'a toujours quelques différences dans les aiguilles

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bongo1981
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Message par bongo1981 » 21/04/2007 - 13:45:04

C'est un problème de stroboscopie...

En fait tu sais que l'aiguille des heures fait un tour en 12 heures.
L'aiguille des minutes fait un tour en 60 minutes.

On sait qu'à midi les aiguilles sont superpoées. Quelle est la superposition suivante ?

Admettons que tu considère les auiguilles à 1h, et que les aiguilles se superposent dans T minutes.

Alors dans ce cas l'aiguille des minutes aura avancé de T/60 * 360 degrés.
L'aiguilles des heures aura avancé de T/60/12 * 360 + 360/12 degrés

En gros, la première équation donne l'angle que fait l'aiguille des minutes avec la verticale en fonction du temps, la deuxième c'est l'aiguille des heures.

En égalisant les deux équations tu as l'instant où les heures et les minutes se superposent encore (donc aux environs de 1h05).

T*(1/60 - 1/60/12) = 1/12
T = 5*12/11 = 5.454545... = 5' 27''

Donc les aiguilles se superposent à nouveau à 1h05'27''

Pour les autres heures il faut résoudre cette équation :

T*(1/60 - 1/60/12) = N/12
soit : T = 5*N / (11/12) = 60*N/11
avec N prenant 12 valeurs différentes (N parcourent les entiers de 0 à 11).

Donc pour la deuxième rencontre, on peut supputer que c'est autour de 2h10, avec N=2 on a :
T = 120/11 = 10.90 = 10' 54.55''
Soit 2h10'54.55''

etc...
edit : j'avais fait une erreur c'est rectifié (et j'ai corrigé les coquilles en orthogtraphe)

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Maulus
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Message par Maulus » 23/04/2007 - 11:02:47

pourquoi stroboscopie ?
j'ai compris ta logique, mais je vois pas le rapport avec la stroboscopie.
joli effort bongo à part ça :) :D
Ce n'est pas le moindre charme d'une théorie que d'être réfutable, F. Nietzsche.

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bongo1981
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Message par bongo1981 » 23/04/2007 - 11:46:10

Maulus a écrit :pourquoi stroboscopie ?
j'ai compris ta logique, mais je vois pas le rapport avec la stroboscopie.
joli effort bongo à part ça :) :D
Je me rappelle avoir résolu ce problème en 2nde, dans le chapitre Stroboscopie, ça gérait les phénomènes périodiques ;)

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Maulus
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Message par Maulus » 23/04/2007 - 11:53:17

ah oui dans le sens phénomène périodique ok.
j'avais pas saisi l'idée avec le terme stroboscopie. stroboscope, le macoumba, etc... :D
Ce n'est pas le moindre charme d'une théorie que d'être réfutable, F. Nietzsche.

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DerYcK
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Message par DerYcK » 17/06/2007 - 18:15:44

bongo1981 a écrit :T*(1/60 - 1/60/12) = 1/12
T = 5*12/11 = 5.454545... = 5' 27''

Donc les aiguilles se superposent à nouveau à 1h05'27''

Comment les trois aiguilles peuvent-elles se superposer à cett eheure la si l'aiguilles des secondes est sur 27 aors que les deux autres sont approximativement sur le 5 ?
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Message par bongo1981 » 17/06/2007 - 18:57:32

J'ai résolu l'exercice pour les deux aiguilles, et pas pour la trotteuse.

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Message par DerYcK » 17/06/2007 - 19:12:33

Ok ok. pour le résoudre avec 3 aiguilles c'est le meme principe ?
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Message par bongo1981 » 17/06/2007 - 19:19:13

Ben tu peux tenter, tu auras pour un n donné deux équations (la première c'est celle donnant l'instant où les aiguilles des heures et des minutes se superposent) , l'autre donne l'instant celles des minutes et des secondes se superposent.

Si ces valeurs ne sont pas les mêmes alors c'est impossible (c'est ce que je pense).
A part pour minuit et midi, je pense qu'il n'y a pas d'autres configurations.

Tu peux tenter le calcul ;)

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Message par DerYcK » 17/06/2007 - 19:21:22

oui je pense aussi. ou alors peut etre pour des valeurs plus particulieres autre que celles de type 1h05 ou 2h10. j'essaye et si j'y arrive je te tiens au courant
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Message par bongo1981 » 17/06/2007 - 19:32:07

En fait la réponse est donnée dans mes calculs, pour le premier croisement à 1h05'27'' on voit que la trotteuse est loin devant.

Pouir le second survenant à 2h10'54'' identiquement la trotteuse est loin devant aussi.

3ème croisement : 3h16'21''
4ème : 4h21'49''
5ème : 5h27'16''
6ème : 6h32'43''
7ème : 7h38'10''
8ème : 8h43'38''
9ème : 9h49'05''
10ème : 10h54'32''
11ème : 12h00'00''

les secondes et les minutes n'indiquent jamais la même valeur excepté pour 12h donc les 3 aiguilles ne se superposent qu'à midi et minuit et jamais ailleurs.

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Message par DerYcK » 17/06/2007 - 19:33:01

Bravo !
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Message par bongo1981 » 17/06/2007 - 19:42:06

Merci, mais le plus dur a été fait là :http://www.techno-science.net/forum/viewtopic.php?p=40184#40184

Je n'ai fait que les applications numériques, et interpréter les résulats.

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Message par sonic » 18/06/2007 - 9:36:52

Victor a écrit :en théorie il n'y a que midi et minuit ou les 3 aiguilles se superposent exactement tu n'as qu'à faire le raisonnement pour 1h 05, 2h 10 etc.
Tu verras il y'a toujours quelques différences dans les aiguilles


:heink:

à chaque heure, l'aiguille des minutes passe une fois au dessus de celle des heures, et à chaque minute, l'aiguille des secondes passe une fois au dessus de celle des minutes...je pense que pour chaque heure, il y a superposition des 3 aiguilles, mais à quel moment ? je sais pas

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Message par DerYcK » 18/06/2007 - 14:25:41

Je crois que la situation ou les secondes passent au dessus de l'aiguilles des minutes ne se présentera que lorsque que les minutes et les heures ne seront plus alignés. Je suis assez d'accord pour dire que le tout ne se croisera qu'a midi et à minuit. (j'essayerai de la démontrer qquand ma mere sera la et que je serai privé de pc XD)
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Message par fffred » 18/06/2007 - 14:48:06

bongo l'a démontré juste au dessus ;)
je suis certain que vous croyez avoir compris ce que j'essayais de vous dire, mais êtes-vous sûr que ce que j'ai dit correspondait vraiment à ce que je voulais dire ?

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Message par DerYcK » 18/06/2007 - 14:50:24

ouais mais y'a pas les calculs ^^
je vais les faire surement dans pas longtemps voir ce que ça donne
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Message par bongo1981 » 18/06/2007 - 21:20:32

Je n'ai fait que les calculs.

En fait si tu regardes bien l'équation : 60*N/11

Tu peux par un raisonnement arithmétique conclure que ce n'est possible que si 60*N/11 (qui est un temps en minute) donne un nombre du type : M + M/60 (exemple si on veut que les 3 aiguilles soient superposées, il faut que les minutes trouvées soient M et les secondes M, donc la durée T après la Nième heure doit s'écrire M + M/60), ceci est valable pour N variant de 0 à 10 puisque 60*N/11 < 60 minutes

Or cela fait 61M/60 = 60*N/11 pour M et N entiers, soit :

M = 3600 / (61*11) * N

Ca ne marche que pour N = 0 (le cas trivial)
Pour le cas N=11, il ne figure pas dans cette solution puisque 60 minutes = 1h.

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Michel
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Message par Michel » 18/06/2007 - 23:00:57

EXERCICE SUIVANT :

A quelle(s) heure(s) les 3 aiguilles forment respectivement entre elles 3 angles de 120° ?
:sol: :siffle:

Victor
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Message par Victor » 19/06/2007 - 0:24:11

je pense que jamais parce la situation idéale serait les seconde sur 12h, les minutes sur 4h et l'heure sur 8h ou encore 8h et 4h mais que si tu calcules l'avancée des minutes ça décale l'heure de restropectivement de 4h= 20mn et 8h 40mn soient des angles supplémentaires pour les heures de restropectivement 30°X 20/60 = 10° et 30°X 40/60= 20°

Victor
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Message par Victor » 19/06/2007 - 21:33:01

Il ya aussi la solution de l'aiguille des minutes sur 12h l'aiguille des heures sur 4 h ou 8H et restropectivement l'aiguille des secondes sur 8h ou 4h mais encore l'aiguille des secondes décalera les 2 autres de 40s ou 20s soient des angles en plus pour l'heure de 30° X40/3600=0.33° ET = 0.1666° et pour les minutes de 6° X40/60= 4° ET 2°

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Message par bongo1981 » 19/06/2007 - 22:21:51

C'est pas évident de répondre comme ça intuitivement...
Commençons par voir quand l'aiguille des heures et des minutes forment un angle de 120°.

La position de la petite aiguille, celle des heures est repérée par l'angle THETA :
THETA(t) = OMEGA * t

La position de la petite aiguille, celle des minutes est repérée par l'angle theta :
theta(t) = omega * t

En posant OMEGA = 2*pi / (12 * 60 * 60) / s et omega = 2*pi / (60 * 60) / s

On cherche un instant t tel que : theta(t) - THETA(t) = 2*pi/3 ou 4*pi/3 [2*pi]
modulo 2*pi
(ce qui veut dire que la petite et la grande aiguille peuvent former un angle de 120° de deux façons différentes)

Ceci revient à calculer : 2*pi*t/(60*60) * 11/12 = 2*pi/3 ou 4*pi/3 [2*pi]
Soit un exercice d'arithmétique :
Pour k=1 ou 2, trouver t tel que :
(11t-14400k)/(12*3600) est entier

Pour k=1 :
t = 12*1200/11 * (3p+1)

p=0 : t = 1309 s = 12h21'49''
p=1 : t = 5236 s = 1h27'16''
p=2 : t = 9163 s = 2h32'43''
p=3 : t = 13090 s = 3h38'10''
p=4 : t = 17018 s = 4h43'38''
p=5 : t = 20945 s = 5h49'05''
p=6 : t = 24872 s = 6h54'32''
p=7 : t = 28800 s = 8h00'00''
p=8 : t = 32727 s = 9h05'27''
p=9 : t = 36654 s = 10h10'54''
p=10 : t = 40581 s = 11h16'21''

Pour k=2 :
t = 12*1200/11 * (3p+2)

p=0 : t = 2618 s = 12h43'38''
p=1 : t = 6545 s = 1h49'5''
p=2 : t = 10472 s = 2h54'32''
p=3 : t = 14400 s = 4h00'00''
p=4 : t = 18327 s = 5h05'27''
p=5 : t = 22254 s = 6h10'54''
p=6 : t = 26181 s = 7h16'21''
p=7 : t = 30109 s = 8h21'49''
p=8 : t = 34036 s = 9h27'16''
p=9 : t = 37963 s = 10h32'43''
p=10 : t = 41890 s = 11h38'10''

Après ce long calcul... on obtient l'instant exact où la petite et la grande aiguille forment un angle de 120° il reste à vérifier si à cet instant la trotteuse fait un angle de 120° avec la grande aiguille (et de l'autre côté sinon elle se superpose avec la pettie aiguille, il suffit de voir si aux chiffres des minutes on peut ajouter ou enlever 20).

Donc Victor a raison, ça ne se produit jamais.

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Michel
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Message par Michel » 19/06/2007 - 22:29:13

:clapclap: :jap:

rhâââââ !!!! à 2h 54' 32", à 2 secondes près c'était bon !!!
Dernière modification par Michel le 19/06/2007 - 22:29:34, modifié 1 fois.

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DerYcK
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Message par DerYcK » 19/06/2007 - 22:29:22

woaw bien joué bongo :d
respect ^^
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