fonction sinus
Modérateur : Modérateurs
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fonction sinus
Question plutot difficile:
prouver que sin(x) inférieur ou égal a x lorsque x supérieur ou égale a 0
prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0
prouver que sin(x) inférieur ou égal a x lorsque x supérieur ou égale a 0
prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0
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Si je me souviens bien tu fait la derivée de sinx-x et tu cherche les valeurs extremes. Je crois que c est comme ca qu on fait
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Ca n ' a pas besoin d'etre prouvé par des valeurs num.
Il faut les valeurs en 0 et 1 (ou -1)
Tu regarde suivant le signe de la deriv si ca croit ou pas et en tenant compte des valeurs en 1 et 0 tu en deduit si sinx<x ou pas
Il faut les valeurs en 0 et 1 (ou -1)
Tu regarde suivant le signe de la deriv si ca croit ou pas et en tenant compte des valeurs en 1 et 0 tu en deduit si sinx<x ou pas
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- Michel
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le th. des accr. finis dit que comme sin est continue et dérivable sur 0,x alors il existe D tel que:
sin (x) - sin (0) = (x - 0) . sin' (D.x) avec 0 < D < 1
c'est à dire
sin (x) = x . cos (D.x)
Comme 0 < D < 1 , alors | cos(D.x) | < 1
et donc
| sin(x) | < | x|
ce qui est ce que tu voulais démontrer.
sin (x) - sin (0) = (x - 0) . sin' (D.x) avec 0 < D < 1
c'est à dire
sin (x) = x . cos (D.x)
Comme 0 < D < 1 , alors | cos(D.x) | < 1
et donc
| sin(x) | < | x|
ce qui est ce que tu voulais démontrer.
plus intuitivement,
la dérivée de sin x est cos x.
Or cos x < 1
Donc sin x croît moins vite que x.
Et comme ces deux fonctions partent du point 0, alors sin x reste forcément en dessous de x.
C'est la même chose que le th des accroissements finis.
la dérivée de sin x est cos x.
Or cos x < 1
Donc sin x croît moins vite que x.
Et comme ces deux fonctions partent du point 0, alors sin x reste forcément en dessous de x.
C'est la même chose que le th des accroissements finis.
je suis certain que vous croyez avoir compris ce que j'essayais de vous dire, mais êtes-vous sûr que ce que j'ai dit correspondait vraiment à ce que je voulais dire ?
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J'ai eut la premiere question dans mon controlesur les derivees. Voilala methode:
Soit f(x) def par f(x)=x-sin x. f est derivable sur R et f'(x)=1-cos x.
De plus cos x est compris entre -1 et 1 . -cos x aussi entre -1 et 1 donc 1-cos x est positif ou nul donc f'(x) est positif ou nul donc f est croissante sur [0;+infini]. De plus f(0)=0-sin 0=0 donc f(x)est croissante pour x appartient a [0:+infini] donc x-sin x positif ou nul donc :
x sup ou egal a sin x (pou r tt x positif ou nul)
Bon, ce parait car je ne peut pas mettre trop de symboles.
Pour prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0" ca doit etre pareil...
Ok a vous mnt
Soit f(x) def par f(x)=x-sin x. f est derivable sur R et f'(x)=1-cos x.
De plus cos x est compris entre -1 et 1 . -cos x aussi entre -1 et 1 donc 1-cos x est positif ou nul donc f'(x) est positif ou nul donc f est croissante sur [0;+infini]. De plus f(0)=0-sin 0=0 donc f(x)est croissante pour x appartient a [0:+infini] donc x-sin x positif ou nul donc :
x sup ou egal a sin x (pou r tt x positif ou nul)
Bon, ce parait car je ne peut pas mettre trop de symboles.
Pour prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0" ca doit etre pareil...
Ok a vous mnt
Vous connaissez Orion? si c'est non...c'est fort dommage pour vous
f(x) = x - sin x
f est dérivable sur R car elle est composée de fonctions dérivables
f'(x) = 1 - cos x
or :
-1< cos x < 1
-1 < -cos x < 1
1 - cos x = f(x) > 0 donc la fonction est croissante sur ]-inf ; +inf[
f(x) = 0
x - sin x = 0
x = sin x
x=0 (et par conséquent aussi f(0) = 0)
comme f(x) est croissante sur ]-inf ; +inf[ et nulle ssi x=0 si x<0 on a f(x) < 0 donc sin > x
f est dérivable sur R car elle est composée de fonctions dérivables
f'(x) = 1 - cos x
or :
-1< cos x < 1
-1 < -cos x < 1
1 - cos x = f(x) > 0 donc la fonction est croissante sur ]-inf ; +inf[
f(x) = 0
x - sin x = 0
x = sin x
x=0 (et par conséquent aussi f(0) = 0)
comme f(x) est croissante sur ]-inf ; +inf[ et nulle ssi x=0 si x<0 on a f(x) < 0 donc sin > x
(Bientôt) en PTSI à Louis Couffignal
non c'est juste.
Mais c'est presque trop compliqué.
La méthode des accroissements finis, comme proposait michel, revient exactement à la même chose, mais en plus simple.
Mais c'est presque trop compliqué.
La méthode des accroissements finis, comme proposait michel, revient exactement à la même chose, mais en plus simple.
je suis certain que vous croyez avoir compris ce que j'essayais de vous dire, mais êtes-vous sûr que ce que j'ai dit correspondait vraiment à ce que je voulais dire ?
- Ze Venerable
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