fonction sinus

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pilot's wings
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fonction sinus

Message par pilot's wings » 11/02/2007 - 19:27:17

Question plutot difficile:

prouver que sin(x) inférieur ou égal a x lorsque x supérieur ou égale a 0
prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0

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Michel
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Message par Michel » 11/02/2007 - 19:53:57

Applique le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0, x] :bon:

pilot's wings
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Message par pilot's wings » 11/02/2007 - 19:57:02

le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0, x], je ne connais pas du tout :fada:

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cyrille
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Message par cyrille » 11/02/2007 - 19:58:46

Si je me souviens bien tu fait la derivée de sinx-x et tu cherche les valeurs extremes. Je crois que c est comme ca qu on fait

pilot's wings
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Message par pilot's wings » 11/02/2007 - 20:00:38

J'ai pensé a faire ça, mais est ce suffisant pour demonntrer cela ?
Sacahnt que si on prend un valeur très petite 0.00001, f(0.00001) environ égale a 0.00000999987, donc comment prouver ça ?

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cyrille
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Message par cyrille » 11/02/2007 - 20:06:39

Ca n ' a pas besoin d'etre prouvé par des valeurs num.

Il faut les valeurs en 0 et 1 (ou -1)

Tu regarde suivant le signe de la deriv si ca croit ou pas et en tenant compte des valeurs en 1 et 0 tu en deduit si sinx<x ou pas

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Michel
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Message par Michel » 11/02/2007 - 22:56:57

le th. des accr. finis dit que comme sin est continue et dérivable sur 0,x alors il existe D tel que:

sin (x) - sin (0) = (x - 0) . sin' (D.x) avec 0 < D < 1

c'est à dire

sin (x) = x . cos (D.x)

Comme 0 < D < 1 , alors | cos(D.x) | < 1

et donc

| sin(x) | < | x|

ce qui est ce que tu voulais démontrer.

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Michel
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Message par Michel » 12/02/2007 - 11:29:33

Sinon, sans ce théoreme, il faut étudier le signe de
f(x) = x - sin(x) en établissant le tableau de variation de f entre par exemple -PI/2 et +PI/2. Là où f(x) sera positive, x sera au dessus de sin(x) et vice-versa. ;)

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fffred
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Message par fffred » 12/02/2007 - 18:05:56

plus intuitivement,
la dérivée de sin x est cos x.
Or cos x < 1
Donc sin x croît moins vite que x.
Et comme ces deux fonctions partent du point 0, alors sin x reste forcément en dessous de x.

C'est la même chose que le th des accroissements finis.
je suis certain que vous croyez avoir compris ce que j'essayais de vous dire, mais êtes-vous sûr que ce que j'ai dit correspondait vraiment à ce que je voulais dire ?

Illuminatus
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Message par Illuminatus » 14/02/2007 - 14:02:03

J'ai eut la premiere question dans mon controlesur les derivees. Voilala methode:

Soit f(x) def par f(x)=x-sin x. f est derivable sur R et f'(x)=1-cos x.
De plus cos x est compris entre -1 et 1 . -cos x aussi entre -1 et 1 donc 1-cos x est positif ou nul donc f'(x) est positif ou nul donc f est croissante sur [0;+infini]. De plus f(0)=0-sin 0=0 donc f(x)est croissante pour x appartient a [0:+infini] donc x-sin x positif ou nul donc :
x sup ou egal a sin x (pou r tt x positif ou nul)

Bon, ce parait :fada: car je ne peut pas mettre trop de symboles.
Pour prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0" ca doit etre pareil...
Ok a vous mnt :sol:
Vous connaissez Orion? si c'est non...c'est fort dommage pour vous

sensor
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Message par sensor » 19/02/2007 - 14:28:55

je pense que les développements limités te seraient utiles dans ce cas mais je peux me tromper.
Rien n'est plus sur que l'incertain...

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DerYcK
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Message par DerYcK » 21/06/2007 - 1:36:56

f(x) = x - sin x
f est dérivable sur R car elle est composée de fonctions dérivables
f'(x) = 1 - cos x

or :
-1< cos x < 1
-1 < -cos x < 1
1 - cos x = f(x) > 0 donc la fonction est croissante sur ]-inf ; +inf[

f(x) = 0
x - sin x = 0
x = sin x
x=0 (et par conséquent aussi f(0) = 0)

comme f(x) est croissante sur ]-inf ; +inf[ et nulle ssi x=0 si x<0 on a f(x) < 0 donc sin > x
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Message par DerYcK » 22/06/2007 - 3:39:36

C'est juste ou pas ?
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Message par bongo1981 » 25/06/2007 - 14:56:20

Il faut raisonner sur x>0
Ensuite utiliser la parite de la fonction pour x<0

(desole je suis aux USA, donc pas d'accent)

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Message par DerYcK » 25/06/2007 - 15:40:46

donc c'est faux ce que j'ai fait?
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Message par fffred » 25/06/2007 - 15:49:33

non c'est juste.
Mais c'est presque trop compliqué.

La méthode des accroissements finis, comme proposait michel, revient exactement à la même chose, mais en plus simple.
je suis certain que vous croyez avoir compris ce que j'essayais de vous dire, mais êtes-vous sûr que ce que j'ai dit correspondait vraiment à ce que je voulais dire ?

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Message par DerYcK » 25/06/2007 - 16:11:06

Ok mais bon je la connais pas cette méthode XD
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Message par Ze Venerable » 25/06/2007 - 19:36:27

tu l'as sans doute remarqué mais ton inégalité stricte sur le cos est pas top rigoureuse

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Message par DerYcK » 25/06/2007 - 20:38:44

A cause des "supérieur ou egal" ou "strictement supérieur" ? Oui je sais que c'est pas tiptop mais c'est chiant a bien ecrire avec le pc :/
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