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Soient Z(x,t) tel que Z= z.z' z et z' fonction telle que z= e(ax+jbt) et z'=e(ax-jbt) Cette fonction n'a de solutions que dans la partie réelle comment la traiter dans les complexes

je ne comprends pas ta question.
Z(x,t) appartient à l'ensemble des réels, qui est une sous-partie des complexes, et c'est tout.

Je ne vois pas ce que veut dire "Cette fonction n'a de solutions" ...
Comment une fonction peut-elle avoir des solutions ? C'est une équation qui a des solutions... et je ne vois pas d'équation dans ta question.

Si tu fais allusion au problème de méca quantique duquel on discutait, tu fais fausse route dès le départ : e(ax+jbt) n'est pas une solution de l'équation de schrödinger. C'est e(j(ax+bt)).
Et de toute facons ces solutions (dites harmoniques) ne sont PAS normalisables, car ce ne sont pas des états liés, c'est-à-dire qu'ils ne représentent pas une particule dont la position est bornée dans l'espace.

C'est marrant j'ai toujours cru que c'était une composition de deux fonctions d'ondes en complexes conjugués sur R² et pas des imaginaires purs dans ce cas la des cosinus f(x,t)

Alors peux-tu m'expliquer l'intégrale de normalisation si tu me dis que c'est pas possible d'intégrer avec des fonctions harmoniques ils ont fait comment ? Les solutions passent pas un maximum égal à 1 et un minimum nul comme pour 0<cos²(x,t)<1 Propriétés du cosinus et du carré

les fonctions d'onde que l'on peut normaliser sont celles qui représentent des particules bornées dans l'espace.

Les solutions e(j(kx-wt)), c'est-à-dire les ondes planes, ne sont pas normalisables.
Par contre, certaines combinaisons de ces solutions le sont. C'est ce qu'on appelle un paquet d'ondes.

Et je ne parle ici que du cas où la particule n'est soumise à aucun potentiel !
Si par exemple je mets la particule en question dans une boite, alors elle subira un potentiel qui l'empêchera d'en sortir. Cela va donner une équation de schrödinger un peu différente, ce qui va changer les solutions : ce ne seront pas les e(j(kx-wt)). Mais les solutions que l'on obtient sont normalisables ! Et heureusement, car on sait bien que cette particule est bornée dans l'espace.

En fait c'est cette distinction que l'on fait entre les "états liés" et les "états libres" :
- un état lié représente une particule bornée dans l'espace, donc il est normalisable.
- un état libre représente une particule qui peut être dans tout l'espace, et ainsi non-normalisable.

Alors bien sur je suis un peu trop stricte : par exemple les fonctions d'ondes gaussiennes sont non-nulles à l'infini, mais sont quand même normalisables ...