tautologie à démontrer

[disciple]

Bonjour à tous,
voici mon problème: redéfinir la différence ensembliste A - B en utilisant les prédicats caractérisant ces deux ensembles et démontrer qu'on a (A c B) logiquement équivalent à (A-B = 0).
L'équivalence est immédiate et j'ai trouvé pas mal d'ensembles équivalents, mais je n'arrive pas à faire la démonstration.

J'ai trouvé:
PA(x): x€A
PB(x)= x€B
(corrigez moi si les notations ne sont pas correct)

- AcB ssi [ pr tt x, PA(x) conséquence logique de PB(x) ET il existe un y PB(y) ET non-PA(y)]
- ou plus simplement si on ne tient pas compte que l'inclusion est stricte: PAcB(x)= PA(x) => PB(x) ?
- PA-B(x)= PA(x) ET non- PB(x)

Si quelqu'un pouvez trier le bon et le faux, et m'aider à résoudre le problème parce que je ne vois pas où tout cela me mène. Je précise que je suis novice en matière de logique des prédicats.
Merci d'avance.

[Khainyan]

commençons par le commencement.. tu veux montrer quoi? par ce que là j'ai pas compris ce que tu voulais faire...

[disciple]

Démontrer la tautologie "A c B" (l'ensemble A est inclut dans l'ensemble B) logiquement équivalent (le égal avec 3 barres) à "A - B = 0". C'est à dire la différence ensembliste de A et B est égal à l'ensemble vide.
Pour le démontrer il est demandé de d'abord redéfinir A-B à l'aide des prédicats Pa et Pb caractérisant A et B.
J'ai pas trouvé tout ces symboles sur le forum alors forcement c pas évident d'être clair, désolé. D'ailleurs j'ai mis "conséquence logique" pour le symbole |=
J'espère que c'est déjà un peu plus clair

[disciple]

UP

Je conçois bien que la fréquence des visites sur ce forum ne soit pas élevée, ni le pourcentage de personnes en mesure de m'aider, mais il ne me reste que quelques jours et c'est vraiment très important, je ne peux pas me permettre de dire j'attends la réponse pour comprendre, après tout ça ne me fera qu'une mauvaise note. J'ai déjà passé beaucoup de temps sur cet exercice et là je suis vraiment bloqué.
Si il y a quelque chose que vous ne comprenez pas dans l'énoncé n'hésitez pas à me demander des éclaircissements mais ne m'abandonnez pas svp =/

[Khainyan]

.. bon veux bien t'aider mais me faut des notations précises. c'quoi ton Pa, Pb?

[disciple]

Pa le prédicat caractérisant l'ensemble A et Pb, bah je pense que tu as deviné.

[Ze Venerable]

Le truc c'est que il n'y a pas grand chose à dire, ou bien je n'ai pas compris, mais si PA(x) => PB(x), alors on a de suite logiquement que (PA(x) ET non- PB(x)) = 0
==>

si (PA(x) ET non- PB(x)) = 0, alors si Pa(x), alors on a de suite logiquement que Pb(x), ce qui revient à dire que Pa(x)=>Pb(x), donc que AcB
<==

[disciple]

L'équivalence étant immédiate il ne devrait pas y avoir grand chose à dire.
Ce que tu as écrit me semble parfaitement correct, je vais résumer pour que ce soir plus clair et pour m'en convaincre surtout :

redéfinir A-B avec Pa et Pb:
pr tt x, Pa(x)= x€A
pr tt x, Pb(x)= x€B
pr tt x, Pa-b(x)= (Pa(x) ET non- Pb(x)) (éléments de A qui n'appartiennent pas à B)

démontrer la tautologie (A-B=0) <=> (AcB):

pr tt x, PAcB(x)= (PA(x) => PB(x)) (tout élément de A appartient à B)

si (PA(x) ET non- PB(x)) = 0, alors si Pa(x), alors on a de suite logiquement que Pb(x), ce qui revient à dire que Pa(x)=>Pb(x), donc que AcB

et réciproquement si PA(x) => PB(x), alors on a de suite logiquement que (PA(x) ET non- PB(x)) = 0
CQFD

Merci beaucoup

[Ze Venerable]

Salut, la notion de prédicat est toute nouvelle pour moi, et c'est pas évident du tout que je la comprenne bien (je le vois comme une proposition, qui est soit vraie soit fausse), mais je trouve cela étrange de parler de "pr tt x, PAcB(x)". Il ne vaudrait pas mieux écrire à la place "PAcB" ?
ce qui donnerait : PAcB <=> pour tt x, Pa(x) => Pb(x)

[disciple]

Pour être honnête, elle est nouvelle pour moi aussi vu que j'ai appris à partir des articles de ce site spécialement pour faire cet exercice. Pour moi, un prédicat est une proposition (assertion avec une valeur de vérité {vrai;faux} ?) qui est généralisée. C'est une propriété P qui s'applique à un objet pouvant varier, ou une relation entre plusieurs objets P(x,y) par exemple. Enfin on peut créer de nouvelles propositions en utilisant les quantificateurs. Maintenant ça reste encore un peu flou pour moi.
En y regardant de plus près, effectivement il n'y a pas lieu de mettre "pr tt x" devant, puisqu'alors si j'en crois la définition de l'article ce n'est plus un prédicat, en plus de n'avoir aucun sens.

"Lorsqu’une variable x appartient à une sous-formule précédée d’un quantificateur, \forall x ou \exists x , elle est dite liée par ce quantificateur. Si une variable n’est liée par aucun quantificateur, elle est libre.Un prédicat est une formule qui contient une ou plusieurs variables libres. On peut considérer les prédicats comme des concepts."

Donc pour conclure... ben heu je suis complètement perdu