un vrai Carré magique: résolution d'un système de 32 équations linéaires à 16 inconnues

[Caocoa]

Salut!
Le titre l'explique assez clairement: j'aimerais résoudre un tel système, mais c'est pas si facile à la main !!!
Cette résolution peut sans doute passer par une matrice, mais je ne sais pas comment faire. Le sytème est du type:

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait? Merci d'avance

[Victor]

Si tu as 16 inconnues et 18 équations c'est un système lié pour avoir des solutions, il faut une matrice carrée avec autant d'équations que d'inconnues... Bref ton système est insoluble

[Oswald_le_fort]

N'imp, victor ! Ce que ca veux dire c'est que 2 equations sont en trop et peuvent être retirées. En gros, il est possible, avec des combinaisons linéraires des équations et retrouver les 2 équations. Donc c'est pas un probleme d'en avoir 2 de trop. Si il y en avait 2 de moins, la le problème serait insoluble.

[Jayxee]

N'imp, victor ! Ce que ca veux dire c'est que 2 equations sont en trop et peuvent être retirées. En gros, il est possible, avec des combinaisons linéraires des équations et retrouver les 2 équations. Donc c'est pas un probleme d'en avoir 2 de trop. Si il y en avait 2 de moins, la le problème serait insoluble.

Il ne serait pas insoluble... il aurait juste une infinité de solutions

[Victor]

Pas d'accord Oswald si t'enlève 2 équations ce n'est plus le même système et là il y a des variables liées

[Pollux]

Allez, j'apporte une petite variante

Avec un système à 16 inconnues et 16 équations, on peut avoir de 0 à une infinité de solution (selon le déterminant).

Avec des équations supplémentaires, on a des contraintes en plus, qui peuvent invalider les solutions précédentes.

Bonne chance...

[Pollux]

Je crois que pour ce système, il y a au moins une solution triviale, si on a 2m inconnue.

on a une solution pour a1 = ... = am = b1 = ... = bm = n/m

édit: décidément les coefficients et moi ça fait pas 2...

[Victor]

y'a aussi une solution triviale si tout les coefficient sont égaux à 0

Puis Pollux pas d'accord si le déterminant est différent de 0 le système n'a que 16 solutions et pas une infinité Déterminant Matrice du cofacteur / Déterminant de la matrice)

[Pollux]

y'a aussi une solution triviale si tout les coefficient sont égaux à 0

pour n=0, oui, c'est juste.
mais elle est comprise dans celle que j'ai donnée

Puis Pollux pas d'accord si le déterminant est différent de 0 le système n'a que 16 solutions et pas une infinité Déterminant Matrice du cofacteur / Déterminant de la matrice)

Si le déterminant est différent de 0, alors il y a 1 solution (1 jeu de 16 variables).
Si le déterminant est égale à 0, alors infinité de solution.

En fait dans le cas 16*16, il y a toujours au moins 1 solution.

[Caocoa]

Eh bien!
On peut dire que ça cogite!
Bien que je n'ai pas étudié les matrices ni l'algèbre linéaire, je peux vous dire qu'il y a au moins une solution non triviale.
Vous avez l'air vous demander par quel bout commencer... le meilleur est que je vous dise comment je suis arrivé à cet horrible système:
examinez un instant le carré suivant:

Un gars que j'ai vu à la Télé l'a pondu en 30 secondes ... On s'aperçoit que presque de n'importe quelle manière que l'on prenne 4 nombres de ce carré (en lignes, diagonales, carrés,... ) on tombe sur n=60, où n est un nombre qui est demandé au public au hasard, compris entre 51 et 99 inclus.
- Soit ce type est un génie pur
- Soit il a appris toutes les combinaisons
- Soit (le plus probable), il y a une relation cachée

C'est cette relation que j'essaie de trouver, d'où ce système !
J'ai trouvée 20 relations, mais si j'ai posé la question pour 16, c'est qu'il y a 16 inconnues; je pensais que se serai plus facile à trouver.
J'espère que nous réussirons à trouver le "truc" !
A bientôt !

[Victor]

Pour ton carré c'est un carré magique et si tu lis bien les variables dont liés donc tu ne peux en faire une matrice

Un Lien vers un site http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... ro.htm#top

[bongo1981]

Et comment tu arrives à avoir 18 équations ? J'en vois que 10 (4 lignes 4 colonnes et 2 diagonales).

[bongo1981]

ça va de soi que ces nombres sont des entiers naturels, et compris entre 1 et n.

Sinon... attention à vos conclusions sur les systèmes d'équation... y a beaucoup d'erreurs élémentaires

[Caocoa]

Pour répondre à Bongo: on peut aussi avoir

et plus encore en prenant les 4 du centre, et si on repère le carré par ce système:

on a aussi a2 + a3 + d2 + d3 et la même chose en horizontal, ... bref, c'est si bien mené que c'est rationnellement impossible de faire cela de tête en 30 secondes.
De plus comme tu le souligne, l'ensemble D des nombres utilisés est restreint, tel que

[bongo1981]

Dans ce cas là tu fais erreur sur le nombre d'équations, il y en a bien plus :
- 4 lignes
- 4 colonnes
- 8 diagonales
- 16 carrés 2x2

soit donc : 32 équations pour 16 inconnues.

[Caocoa]

Ce résultat est assez "élégant", non ? ça n'implique pas une simplification ?
On ne pourrait pas n'avoir "que" 8 inconnues déterminées par 16 conditions et 8 variables liées ?


On a cette solution "triviale":

qui satisfait à pas mal de conditions. C'est quand même bizarre, cette espèce de géométrie ...
Pourrait-on en déduire un cas particulier ?

[Caocoa]

Toujours autant de messages dans la section "Maths": c'est pô tres énergique !!!
Personne ne veut m'aider ???
Au revoir

[Michel]

il y a des solutions évidentes (par exemple des 15 partout ici, ou un mélange de 15, de 30 et de 0) quand n est divisible par 4, à partir desquelles il n'est très difficile de trouver des solutions qui semblent vite spectaculaires si on fait ça de tête...

[Caocoa]

Tu as raison, Michel, et je t'avouerais que cet aspect de la question m'amuse beaucoup
Bonne semaine.

[Ze Venerable]

sur wikipedia ils expliquent comment construire des carrés magiques d'ordre élevés à partir d'autres d'ordre plus petit. Peut-être que le gars en a imaginé 4 de taille 2x2 donnant 30 qu'il a ensuite astucieusement mélangés.

[Victor]

Si c'est des carrés magiques à 3, 5, 7, 2N+1 en colonnes ou en rangées... C'est plus facile... Il suffit de gérer les sommes par des symétries centrées par rapport au centre... De plus c'est la suite des nombres naturels

[bongo1981]

Pour que ce soit intéressant, il faut que les nombres soient tous différents (en général de 1 à 16 voire plus).
La somme minimale est sigma de 1 à 16 /4 = 34

Je pense que prendre n<34 est impossible.

Comme l'a dit Michel, il suffit d'apprendre 4 carrés magiques :
n=34, 35, 36, 37

Ensuite lorsque tu as par exemple 60, tu as 60 = 36 modulo 4
60 = 36 + 24
Il suffit de prendre ton carré n=36 et ajouter 6 à chaque nombre.

[Caocoa]

Mais pour l'instant, nous n'avons que le carré de 60, non ?

[Ze Venerable]

La méthode de bongo demande de calculer (via ton système d'équations par ex) les 4 cas n=34 à 37, puis d'apprendre par coeur les solutions obtenues

[Caocoa]

Ce qui nous ramène à ce système... Comment trouver les solutions ?
Ca pourrait donner ca !

---------- Avis ----------
On recherche 3 carrés
magiques dangereux

Si vous les apercevez,
tentez tout pour les
retenir et noter
leur signalement.

Dead or alive
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(dead is better ! )