raisonnement par récurrence

[CIRDEC]

Lors de l'étape d'hérédité d'un raisonnement par récurrence, les formulations les "meilleures" à mon sens pour traduire l'implication :
"pour tout entier n, P(n) implique P(n+1)"
me semblent être les suivantes :
SOIT n UN ENTIER. SUPPOSONS que P(n) soit vraie et démontrons qu'alors P(n+1) est vraie.
OU :
SUPPOSONS que pour un entier n quelconque donné, P(n) soit vraie etc.

Je voulais savoir si les formulations suivantes sont tolérées (je pense qu'elle peuvent présenter une ambiguïté):
Supposons qu'il EXISTE un entier n tele que P(n) soit vraie etc.
OU:
Soit n un entier tel que P(n) soit vraie etc.
OU :
Soit n un entier vérifiant P(n) etc.

Merci pour votre éclairage.
Cédric

[gzav]

Oui tu as raison il y a ambiguite, car tu dois montrer que P(n) vrai implique P(n+1) vrai quelquesoit n. Sinon ce n'est plus un raisonnement par recurrence.
Je ne me souviens plus trop de mes cours de math mais il me semble qu'il existe de variantes vicieuses du raisonnement par recurrence pour des cas particuliers...
Ca marche aussi de P(n) vers P(n-1) ou tout autre valeur en fait.

[Victor]

Juste histoire de rigoler un cours de logique Shadock sur les passoires à 0 trous
http://fr.youtube.com/watch?v=wVQtfbhhBJs

[bongo1981]

Pour le raisonnement par récurrence, tu n'as pas besoin de supposer que c'est vrai pour tout n... (sinon pourquoi le démontrer ?).

Tu supposes que la proposition est vraie pour n.
Ensuite tu tentes de démontrer que cela implique que c'est vrai pour n+1.

C'est pourquoi tu dois vérifier que c'est vrai pour un m donné (en général pour 0 ou 1).

[gzav]

C'est vrai, je voulais repondre a ce post isole mais je me suis un peu emballe.
Par "quelque soit n" je voulais dire "soit n quelconque"

[serdj]

pour CIRDEC :

Toutes tes formulations sont acceptables. Dans le raisonnement par récurrence, on doit montrer si que P(n) est vrai pour un certain n, ALORS P(n) est vrai pour n+1 (ou n-1 pour un récurrence décroissante) : autrement dit c'est l'IMPLICATION P(n)=>P(n+1) que l'on cherche à prouver. Mais attention, pour que le raisonnement soit correct (c'est à dire pour que l'on puisse en conclure que P(n) est vraie pour tout n), il faut aussi un point de départ, c'est à dire exhiber un "vrai" n0 tel que P(n0) soit vraie. (généralement on prend 0 ou 1). P(n) sera alors vraie pour tout n >= n0.

Pour Victor :
Excellent, les passoires shadok ! j'ai bien rigolé.