enigme mathématique

[Oswald_le_fort]

Bonjour a tous,
Un bon ami a moi (mathematicien de son état) m'a fait part d'une petite enigme dont je vais vous faire l'ennoncé ici.
Le Dr No, ennemi de James Bond, frappe un grand coups sur un congres de mathematiciens. Ils sont au nombre de 100. Le Dr No les enferme dans une piece et leur annonce ceci :
"Dans la piece d'a côté, j'ai mis 100 boîtes identiques, chacunes contenant le nom de l'un d'entre vous, de telles manière que vos 100 noms soient dans les 100 boîtes. Maintenant un par un vous allez entrer dans la piece et ouvrir jusqu'a 50 boîtes. Si dans une des 50 vous trouvez votre nom, vous pourrez acceder à la piece d'attente d'a côté. Et alors le suivant pourra entrer. Entre les deux, les 100 boîtes seront remises dans le même état qu'au début. Le deuxieme va faire la même chose et ainsi de suite. Si d'aventure l'un d'entre vous ne trouve pas son nom dans les 50 boîtes qu'il aura ouverte, alors tous seront tués, même ceux qui avaient trouvés leur noms precedement. "
Il leur laissa donc 1 heure pour decider d'une stratégie. Qu'elle est celle qui maximise leurs chances de survies ?

Bonne chance.

P.S. : cette enigme s'adresse en priorité à des matheux parce qu'il y a des notions necessaires pour trouver la solution qui ne sont pas communes. Mais on peut avoir de bonnes surprises des non matheux.

[bongo1981]

De manière naïve, un mathématicien a 50 chances sur 100 de passer dans la salle d'attente, soit 1/2.

La probabilité que tout le monde soit sauvé est (1/2)^100.

Il faut que je réfléchisse à améliorer cela

Est-ce qu'il est possible de laisser des marques ? Est-ce que les boîtes restent indiscernables ?

[$$$]

Salut,

Il doit y avoir un truc du genre : les 50 premiers ouvrent les 50 premières boites, et s'ils sont tous sauvés, alors les 50 derniers ouvrent les 50 dernières boites.

Enfin, juste une idée comme ça...

[Stardust]

Si on reprend ce que dit Oswald :

… 100 mathématiciens… Entre les deux, les 100 boîtes seront remises dans le même état qu'au début.

Il y a donc 100 boîtes et 100 mathématiciens. Ces derniers pourraient décider de s’attribuer des numéros d’ordre de 1 à 100. Comme les boites restent dans le même ordre, le premier va ouvrir les 50 premières boites. S'il réussi, c'est que son nom est dans les 50 premières boites. Du coup on a 50-1, le deuxième -en maximisant ses chances-, pourra ouvrir les boites de la 2e à la 51e, le troisième de la 3e à la 52e…
Euhhh.... bon. C'est un début de début de petit bout d'idée.... surtout sans pouvoir faire appel aux maths...

[Oswald_le_fort]

De manière naïve, un mathématicien a 50 chances sur 100 de passer dans la salle d'attente, soit 1/2.

La probabilité que tout le monde soit sauvé est (1/2)^100.

Il faut que je réfléchisse à améliorer cela

Est-ce qu'il est possible de laisser des marques ? Est-ce que les boîtes restent indiscernables ?

En effet, la proba "aléatoire" est bien celle la... C'est très faible.

Les boîtes sont numérotées de 1 à 100. J'ai du oublier de preciser ca. mais elles ne sont pas modifiables, et leur contenu reste toujours le même d'un matheux a un autre.

[Oswald_le_fort]

Si on reprend ce que dit Oswald :

… 100 mathématiciens… Entre les deux, les 100 boîtes seront remises dans le même état qu'au début.

Il y a donc 100 boîtes et 100 mathématiciens. Ces derniers pourraient décider de s’attribuer des numéros d’ordre de 1 à 100. Comme les boites restent dans le même ordre, le premier va ouvrir les 50 premières boites. S'il réussi, c'est que son nom est dans les 50 premières boites. Du coup on a 50-1, le deuxième -en maximisant ses chances-, pourra ouvrir les boites de la 2e à la 51e, le troisième de la 3e à la 52e…
Euhhh.... bon. C'est un début de début de petit bout d'idée.... surtout sans pouvoir faire appel aux maths...

Ya de l'idée... Mais la méthode n'est pas correcte parce qu'ils auraient toujours (1/2)^100 chances de survie. Mais l'idée de départ est la bonne.

[Pollux]

Je crois que j'ai une solution qui donne 1+ (1/2)^50

---- correction (1/2)^50 (pas de +1)

[bongo1981]

Est-ce que c'est possible de changer la disposition des boîtes ?

Par exemple le premier arrive, trouve son nom dans la boîte A, il met alors cette boîte tout à la fin.

etc... jusqu'au 50ème, du coup les suivants savent que leur nom est dans les boîtes restantes qui se trouvent tout à gauche ?

Ca donnerait :
50/100 * 50/99 * 50/98 etc... = (50^50)/(100!)*50! = 2.9 e-9

(1/2)^50 = 9e-16

et pour la première solution c'était :
(1/2)^100 = 1e-30

[Pollux]

Les 50 premiers tirent les 50 premieres boites (1/2)^50
S'ils ne sont pas encore mort alors,
les 50 derniers tirent les 50 dernieres boites (1)

[bongo1981]

Ou bien ils disent qu'ils s'appellent tous Henri Poincaré, ils se disent qu'ils vont tirer les boîtes numérotés de 1 à 50.

Ils auront 50% de chance de sortir

[Oswald_le_fort]

Est-ce que c'est possible de changer la disposition des boîtes ?

Par exemple le premier arrive, trouve son nom dans la boîte A, il met alors cette boîte tout à la fin.

etc... jusqu'au 50ème, du coup les suivants savent que leur nom est dans les boîtes restantes qui se trouvent tout à gauche ?

Ca donnerait :
50/100 * 50/99 * 50/98 etc... = (50^50)/(100!)*50! = 2.9 e-9

(1/2)^50 = 9e-16

et pour la première solution c'était :
(1/2)^100 = 1e-30

Non, les boîtes restent dans le même ordre qu'au départ... Ya de l'idée, mais c'est encore très loin...

[Oswald_le_fort]

Ou bien ils disent qu'ils s'appellent tous Henri Poincaré, ils se disent qu'ils vont tirer les boîtes numérotés de 1 à 50.

Ils auront 50% de chance de sortir

Je sens une pointe d'ironie... Comme si ca te plaisait pas comme enigme...

Je vais donner un élément de solution : la proba qu'ils ont de sortir est de l'ordre de 30%.

[bongo1981]

arf 30% ? c'est chaud là
Est-ce qu'il y a un moyen de laisser un signe dans la salle des boîtes ?

[Aldebaran]

J'ai tenté de trouver mais mon cerveau s'est mis à chauffer jusqu'à la température de planck

Alors le mieux c'est de laisser réfléchir les experts mais si Bongo trouve que c'est chaud, ça va pas être évident ^^

Et puis après je vous ferais une enigme a mon niveau (pour les nuls)

[Ze Venerable]

"Les 50 premiers tirent les 50 premieres boites (1/2)^50 "

pas sûr de cette proba, par ex pour le 50é mathématicien à passer, sur ces 50 boites on est sûr que 49 contiennent les 49 noms des précédents mathématiciens, et pour la seule boite pouvant encore contenir son nom, la proba de réussite est de 1 chance sur 51 au lieu de 1 chance sur 2; saur erreur de raisonnement de ma part

[Oswald_le_fort]

arf 30% ? c'est chaud là
Est-ce qu'il y a un moyen de laisser un signe dans la salle des boîtes ?

non, aucun. Juste il faut se souvenir que les boîtes sont numérotées de 1 à 100.

[Pollux]

"Les 50 premiers tirent les 50 premieres boites (1/2)^50 "

pas sûr de cette proba

C'est tres juste, la proba est fausse.

[Ze Venerable]

30% de chance de s'en sortir me parait complètement impossible. Déjà si on ne demande qu'aux mathématiciens n°1 et 2 de trouver leur nom, pas moyen de faire mieux que 25 %. Et comme quelle que soit la stratégie la proba que le groupe s'en sorte diminue avec le nombre de mathématiciens passant le test (espérance individuelle inférieure ou égale à 1)... Je devrais peut-être relire l'énoncé moi

[Oswald_le_fort]

Et si pourtant, c'est possible. Mais pas trivial du tout.

[bongo1981]

arf 30% ? c'est chaud là
Est-ce qu'il y a un moyen de laisser un signe dans la salle des boîtes ?

non, aucun. Juste il faut se souvenir que les boîtes sont numérotées de 1 à 100.

Pour m'aiguiller un peu, c'est une stratégie mise au point par les mathématiciens dans la salle, après, ils ne communiquent plus du tout entre eux ? par aucun moyen ?

[bongo1981]

Imaginons qu'il y ait 2 mathématiciens, et 2 boîtes.

Une réflexion naïve dirait : 1/2 pour trouver la bonne boîte pour le premier, 1/2 pour le second soit 1/4

Quand on y réfléchit un peu plus, le premier peut dire : je regarde la boîte 1. 1 chance sur deux que ce soit ok, et le deuxième va forcément prendre la boîte 2. Du coup l'on ramène nos chances à 50% (au lieu de 25%).

Je réfléchis à une méthode avec 4 mathématiciens...

[adagio]

la piste je pense c'est qu'il va falloir construire des groupes de boites qui vont s'exclurent les uns les autres. Je ne sait pas trop comment construire ces groupes.

Mais par exemple au debut le premiere va prendre les boite de 1 a 50

Si il passe le deuxieme prendra de 51 a 100 car de 1 a 50 il saura qu'il y a deja 1 nom qui n'est pas le sien.

Le truc 1 a 50 pour le premier est pas top, mais on comprend que comme les 2 groupes s'excluent le second matheux a plus de chance que le premier.
Et avec des groupes bien choisis le 3 ieme pourrait avoir plus de chance que les 2 premiers.
Je donne l'idée pour les matheux de l'audiance car je suis bien incapable de former ces groupes

[bongo1981]

adagio> c'est une méthode similaire à laquelle j'ai pensé... mais pas évidente à mettre en oeuvre...

Pour 4 mathématiciens, je propose de former 2 groupes de 2 (déjà il y a 3 possibilités).
Ensuite on regroupe les boîtes par 2 groupes de 2 (encore 3 possiblités).

Imaginons que les groupes soient mathématicien 1 et 2 ensembles, et 3 et 4 ensembles.

Il y a une chance sur 6 pour que le premier mathématicien tombe sur le bon groupe de boîte (imaginons boite 1 et 2, les autres étant 1,3 1,4 2,3 2,4 et 3,4).
Ensuite son binôme ouvrira les mêmes boîtes et c'est ok (probabilité 1).
Les deux autres ouvriront le groupe de boîte suivant (proba 1 également).

Au final, la chance de survie est 1/6 = 17%

Si je me suis pas planté

[bongo1981]

Sinon autre façon de faire...
Le mathématicien 1 a 1 chance sur 2 de trouver la bonne boîte (il dit qu'il va ouvrir par exemple les boîtes 1 et 2).

S'ils ne meurent pas tous, le second s'avance, et se dit... j'ai 2 chances sur 3 de trouver la bonne boîte, sachant que je ne sais pas laquelle je dois éliminer (1 chance sur 2 d'éliminer la bonne) soit :
1/2 * 2/3 * 1/2 = 1/6 également

Avec 8 mathématiciens ça peut grimper ?

[Pollux]

Est ce que ces matheux peuvent ouvrir leur Nieme boite (<50),
si ce n'est pas bon, laisser la place à un autres matheux pour son propre Nieme tirage ? et ainsi de suite ?

Y a que des matheux pour se mettre dans pareil situation.