Construction d'une fonction à l'aide d'un tableur et de l'approximation affine

carolou01 · Message par **carolou01** » 31/10/2007 - 20:12:45

On suppose l'existence d'une fonction f dérivable sur [1,+ L'infini[ vérifiant
f(1)=0, et pour tout x supérieur ou égal à 1, f'(x)=1/x.[-i][/-i]

Le but de ce problème est de construire f au moyen d'un tableur et de l'approximation affine.
1. Démontrer que f est strictement croissante sur [1,+ l'infini[. En déduire que f est positif sur [1,+l'infini[.
2.Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1.
3. On considère un réel h, strictement positif et petit par rapport à zéro.
Déterminer pour tout réel a de [1,+l'infini[, une approximation affine de f(a+h).
4. On considère un réel a de [1,+l'infini[, donner, en fonction de h, f(a+h) par une approximation affine, et en utilisant l'hypothèse sur f, donner f(a+h).
5. On considère a=1, déterminer f(1+h et f'(1+h). Puis on recommence le procédé, en prenant a=1+h. Au moyen d'un tableur, déterminer par ce procédé, les images par f des réels x de [1;10] s'écrivant sous la forme de x=1+nh avec n entier naturel, et prenant h=0.01.
6. En utilisant le tableur, faire une courbe représentative de f sur l'intervalle [1;10[.
7. Déterminer une valeur approchée du réel e vérifiant f(e)=1.
8. Tracer la tangente à la courbe représentative au point d'abscisse e.
9. Démonter que cette tangente passe par l'origine.
10. Soit k un réel de [1;+l'infini[, déterminer la dérivée de la fonction g qui à x associe f(kx)

Avez-vous quelques piste? Merci

Message par **jyb** » 31/10/2007 - 21:56:52

Heu, techno-science n'est pas vraiment un site destiné à faire les devoirs d'école à la place des élèves :siffle:

.

Tout au plus, on peut donner un ou deux conseils. Mais pour commencer, ta fonction: la partie : [-i][/-i] késako, je veux bien que i soit le nombre imaginaire tel que i² = -1, mais le reste de l'expression me parait étrange ...

si c'est un pb de frappe et qu'en fait, on a: f'(x) = 1/x, alors la réponse à la première question est facile. Comment tu y répondrais ?

moi_en_personne · Message par **moi_en_personne** » 31/10/2007 - 21:59:59

Il faudrait peut être préciser un peu les questions pour lesquelles tu as des difficultés. Mais avant cela il faut vérifier l'écriture de l'expression de la dérivée de f. [-i][/i], c'est une faute de frappe je suppose peut être tu as voulu mettre quelque chose en italique?

Message par **bongo1981** » 31/10/2007 - 23:18:08

Salut, voilà mon dm de maths c'est pour demain, alors quand je reviens il faut que ça soit fait ok ?

Message par **bongo1981** » 02/11/2007 - 19:04:52

Pourquoi avoir créé un autre topic ?
Il fallait continuer celui-ci.

carolou01 a écrit :je me suis effectivement trompédans la rédaction de mon probleme... c'est la fonction f'(x)=1/x.

Ensuite, j'ai réussi (enfin je crois) la question 1 (en partie) et la question 2.

Réponse question 1:

Si f'(x) est positif alors f(x) est croissante.
Démontrons alors que f'(x)=1/x est toujours positif.
Vu que x est toujours supérieur ou égal à zéro, alors f'(x) est toujours positif.
D'où f(x) est strictement croissante sur [1;+l'infini[.
Je n'est pas réussi à en déduire que f était positif sur [1;+l'infini[.

Que vaut la fonction pour le point f(1) ?
De là tu devrai pouvoir conclure.

carolou01 a écrit :Réponse 2: J'ai trouvé pour l'équatin de la tangente de f au point d'abscisse 1 : y=x-1.

Ouais c'est ça

carolou01 a écrit :Pour la suite je bloque complétement... Je ne demande pas forcément les réponses, mais quelques aides me seraient bien utiles.

Merci d'avance!!!

oki

3. On considère un réel h, strictement positif et petit par rapport à zéro.
Déterminer pour tout réel a de [1,+l'infini[, une approximation affine de f(a+h).

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? As-tu déjà essayé quelque chose ? Est-ce que tu as compris l'énoncé ?

Au cas où c'est l'énoncé qui te bloque, on te demande d'écrire f(a+h) = f(a) + h*quelque chose.

Une fonction affine est : f(x) = a*x + b
(euh... définition de 3ème

)

Au fait c'est pour un devoir de quelle classe ? (ça sent la Terminale S, avant d'avoir fait les équations différentielles ?)

carolou01 · Message par **carolou01** » 03/11/2007 - 13:59:21

bongo1981 a écrit :Pourquoi avoir créé un autre topic ?
Il fallait continuer celui-ci.
carolou01 a écrit :je me suis effectivement trompédans la rédaction de mon probleme... c'est la fonction f'(x)=1/x.

Ensuite, j'ai réussi (enfin je crois) la question 1 (en partie) et la question 2.

Réponse question 1:

Si f'(x) est positif alors f(x) est croissante.
Démontrons alors que f'(x)=1/x est toujours positif.
Vu que x est toujours supérieur ou égal à zéro, alors f'(x) est toujours positif.
D'où f(x) est strictement croissante sur [1;+l'infini[.
Je n'est pas réussi à en déduire que f était positif sur [1;+l'infini[.
Que vaut la fonction pour le point f(1) ?
De là tu devrai pouvoir conclure.
carolou01 a écrit :Réponse 2: J'ai trouvé pour l'équatin de la tangente de f au point d'abscisse 1 : y=x-1.
Ouais c'est ça
carolou01 a écrit :Pour la suite je bloque complétement... Je ne demande pas forcément les réponses, mais quelques aides me seraient bien utiles.

Merci d'avance!!!
oki

3. On considère un réel h, strictement positif et petit par rapport à zéro.
Déterminer pour tout réel a de [1,+l'infini[, une approximation affine de f(a+h).

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? As-tu déjà essayé quelque chose ? Est-ce que tu as compris l'énoncé ?

Au cas où c'est l'énoncé qui te bloque, on te demande d'écrire f(a+h) = f(a) + h*quelque chose.

Une fonction affine est : f(x) = a*x + b
(euh... définition de 3ème )

Au fait c'est pour un devoir de quelle classe ? (ça sent la Terminale S, avant d'avoir fait les équations différentielles ?)

La fonction pour le point 1 vaut 0.
Donc on en conclue que a fonction est toujours positive, vu qu'elle est croissante et qu'elle démarre de 1. (Evident, mais j'y est pas pensé)

POur la question 3, j'ai du mal à saisir.
Je sais que l'approximation affine c'est: f(a+h)= f(a)+hf'(a)
D'où f(a)+h=f(a+h)/f'(a). C'est ça?

Sinon oui c'est bel est bien pour un devoir de math

Message par **bongo1981** » 03/11/2007 - 16:55:04

carolou01 a écrit :La fonction pour le point 1 vaut 0.
Donc on en conclue que a fonction est toujours positive, vu qu'elle est croissante et qu'elle démarre de 1. (Evident, mais j'y est pas pensé)

Elle démarre de 0

carolou01 a écrit :POur la question 3, j'ai du mal à saisir.
Je sais que l'approximation affine c'est: f(a+h)= f(a)+hf'(a)
D'où f(a)+h=f(a+h)/f'(a). C'est ça?

Euh... pourquoi tu ne calcule pas f'(a) ?
ensuite tu remplaces dans l'expression et tu as l'expression de f(a+h).

carolou01 a écrit :Sinon oui c'est bel est bien pour un devoir de math

mais de quel niveau ? telle est la question...

carolou01 · Message par **carolou01** » 04/11/2007 - 10:26:16

Je suis en 1ere S. Oui bien sur elle démarre de 0.

Donc : f'(a)=[y-f(a)]/[x-a]
On a y=0 et x=1.
Mais c'est quoi a et f(a), on ne sait pas.
A moins qu'il faille calculer f'(a) d'une autre façon...

Message par **bongo1981** » 04/11/2007 - 10:57:44

On te donne f'(x), alors tu dois pouvoir calculer f'(a) non ?

edit : f'(a) ce n'est pas l'expression que tu as donné.

carolou01 · Message par **carolou01** » 04/11/2007 - 11:41:42

On a f'(a)=1/a.

Donc f(a+h)=f(a)+1/a h

c'est tout ce qu'on nous demande pour la question 3 ?

Sinon pour la suite... j'ai du mal àvoir ce qu'on nous demande (enfin la question 4 ).

PS: merci pour toutes ces aides!!

Message par **bongo1981** » 04/11/2007 - 12:57:09

carolou01 a écrit :On a f'(a)=1/a.

Donc f(a+h)=f(a)+1/a h

c'est tout ce qu'on nous demande pour la question 3 ?

oui

carolou01 a écrit :Sinon pour la suite... j'ai du mal àvoir ce qu'on nous demande (enfin la question 4 ).

PS: merci pour toutes ces aides!!

4. On considère un réel a de [1,+l'infini[, donner, en fonction de h, f(a+h) par une approximation affine, et en utilisant l'hypothèse sur f, donner f(a+h).

Tu es sûre d'avoir bien recopié l'énoncé ? je ne vois pas trop la différence avec la question 3...
Sinon, cette question n'est pas requise pour faire la suite, au pire tu sautes celle-ci et elle deviendra plus clair après ?

C'est tout ce que tu as fait du week-end ? 3 questions ?

carolou01 · Message par **carolou01** » 05/11/2007 - 11:14:30

Il demande de donner f'(a+h).

Heu... oui j'ai fait que ça. C'est que je passe pas mon temps à ça.
C'est quand même les vacances.

Sinon pour la question5: f(1+h)=0+h c'est à dire h.
Et f'(1+h) je sais pas puisque je n'est pas répondu à la question d'avant.

Message par **bongo1981** » 05/11/2007 - 13:03:05

carolou01 a écrit :Il demande de donner f'(a+h).

Donc il y a erreur dans l'énoncé.
D'après l'énoncé, tu sais que f'(x) = 1/x
Donc tu peux en déduire f'(a+h) non ?

tu obtiendras une expression fractionnelle que tu dois pouvoir écrire en fonction affine de h (c'est en fait un développement limité, que tu apprendras à faire en 1ère année des études supérieures si tu continues en maths).

carolou01 a écrit :Heu... oui j'ai fait que ça. C'est que je passe pas mon temps à ça.
C'est quand même les vacances.

Sinon pour la question5: f(1+h)=0+h c'est à dire h.
Et f'(1+h) je sais pas puisque je n'est pas répondu à la question d'avant.

Normalement avec ce que je t'ai donné tu dois pouvoir t'en sortir...

carolou01 · Message par **carolou01** » 05/11/2007 - 13:53:07

Ok donc j'ai f(1+h)=h et f'(1+h)=1/h.
Maintenant faut qu je me débrouille avec le tableur!

carolou01 · Message par **carolou01** » 05/11/2007 - 14:42:51

Je ne sais pas comment fonctionne le tableur de exel... à vrai dire j'en ai jamais fait

Message par **bongo1981** » 06/11/2007 - 11:45:39

Je te propose de décliner ton tableur sous la forme de 3 colonnes : x, f'(x) et f(x).
(admettons que ce soient les colonnes A, B et C ; donc dans A1 tu as x, B1 f'(x) et C1 f(x)).

Dans la première ligne de x tu mets 1 (case A2). (c'est le démarrage).
Ensuite dans les lignes suivantes de x, tu dis que c'est égale au x précédent + 0.01.
Par exemple dans la case A3, tu tapes = A2+0.01

Ensuite tu fais un copier coller (excel va incrémenter les numéros).

Pour f'(x) tu dis que c'est 1/x soit :
Dans la case B2 tu tapes = 1/A2
De même tu fais copier coller.

Dans f(x) tu as le démarrage : 0 (pour f(1)=0).
Donc dans la case C2 tu tapes 0.
Dans la case C3 tu tapes = B2 + 1/A2 * 0.01
Et tu copies colles.

PS : attention à distinguer les virgules des points (tout dépend de la configuration, excel prend en compte soit la notation anglosaxone soit la notation française).

De manière abrupte c'est pas facile à comprendre, mais si tu as compris ton exo ça devrait le faire.

Maulus · Message par **Maulus** » 06/11/2007 - 11:51:51

il est sympa quand même notre Bongo TSiens

Message par **Isabelle** » 06/11/2007 - 12:24:07

Oui, n'est ce pas Carolou01 ?

carolou01 · Message par **carolou01** » 06/11/2007 - 13:30:46

x f'(x) f(x)
x=1 f'(x)=1/A2 f(x)=0
A2+0,01 1/A3 B2+1/A2*0,01
A3+0,01 1/A4
A4+0,01 1/A5
A5+0,01 1/A6
A6+0,01 1/A7
A7+0,01 1/A8
A8+0,01 1/A9
A9+0,01 1/A10
A10+0,01 1/A11
A11+0,01 1/A12
A12+0,01 1/A13
A13+0,01 1/A14
A14+0,01 1/A15
A15+0,01 1/A16
A16+0,01 1/A17
A17+0,01 1/A18
A18+0,01 1/A19
A19+0,01 1/A20
A20+0,01 1/A21

J'ai fait ça pour l'instant. Mais je n'ai pas compris l'histoire "d'incrémenter des numéros". Enfin quand je fais copier coller, j'ai dans la case suivante la même expression que précédemment.
Sinon pour la colonne 3, je n'y arrive pas. Je ne dois pac connaitre l'expression de f(1+h). Moi j'ai dit que f(1+h)=h

Message par **bongo1981** » 06/11/2007 - 13:36:02

Maulus a écrit :il est sympa quand même notre Bongo TSiens

Isabelle, Maulus> n'est-ce pas ?

caro> J'ai dû faire une faute de frappe, pour la colonne donnant f(x), par exemple sur la case C3, tu dois taper : =C2+0.01*B2

Ca veut dire que : f(x+h) = f(x) + f'(x)*h

edit : n'oublie pas le égal, parce que sinon, excel ne comprend pas que tu lui demandes un calcul.

carolou01 · Message par **carolou01** » 06/11/2007 - 16:18:58

x f'(x) f(x)
x=1 f(x)=1/A2 f(1)=0
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Ca me donne ça. C'est normal??

carolou01 · Message par **carolou01** » 06/11/2007 - 16:25:38

Sinon pour faire la courbe... il demande de la faire avec l'ordinateur? ou j'utilise simplement le tableau pour pouvoir la tracer sur une feuille?

Message par **bongo1981** » 06/11/2007 - 16:51:38

carolou01 a écrit :x f'(x) f(x)
x=1 f(x)=1/A2 f(1)=0

Nan, la première ligne c'est pour toi (une sorte de commentaire, les vrais calculs commencent après), la deuxième il faut enlever les x, f'(x) et f(x).

Sinon, pour le traçage de la courbe, utilises le tableur c'est très bien.

Message par **bongo1981** » 06/11/2007 - 21:34:36

carolou01 a écrit :Sinon pour faire la courbe... il demande de la faire avec l'ordinateur? ou j'utilise simplement le tableau pour pouvoir la tracer sur une feuille?

Cher(e) carolou,

Notre petit forum regorge de ressources, de bonne volonté, et de personnes extrêmement sympas, comme Stardust, qui a bien voulu t'aider un peu plus dans la maîtrise des tableurs excels.

Voici donc les instruction à faire :

Ce sont les instructions que je t'ai données ici :

Je te propose de décliner ton tableur sous la forme de 3 colonnes : x, f'(x) et f(x).
(admettons que ce soient les colonnes A, B et C ; donc dans la case A1 tu as x, B1 f'(x) et C1 f(x)).

Dans la première ligne de x tu mets 1 (case A2). (c'est le démarrage).
Ensuite dans les lignes suivantes de x, tu dis que c'est égale au x précédent + 0.01.
Par exemple dans la case A3, tu tapes = A2+0.01

Ensuite tu fais un copier coller (excel va incrémenter les numéros, par exemple dans la case A4, excel mettra automatiquement =A3+0.01).

Pour f'(x) tu dis que c'est 1/x soit :
Dans la case B2 tu tapes = 1/A2
De même tu fais copier coller.

Dans f(x) tu as le démarrage : 0 (pour f(1)=0).
Donc dans la case C2 tu tapes 0.
Dans la case C3 tu tapes = C2 + 1/A2 * 0.01 (ce qui revient au même de mettre = C2 + B2*0.01)
Et tu copies colles.

Normalement si tu procèdes ainsi tu devrais obtenir le tableau suivant :

On dit merci qui ? Merci Stardust :jap:

Ensuite pour le traçage de la courbe, tu pourras sélectionner la colonne des valeurs de x et la colonnes de valeurs de f(x), et demander à excel de faire un tableau (en nuage de points). Je pense que tu pourras te faire aider par tes parents (s'ils connaissent excel).

Voilà, si ce n'est toujours pas clair demande-nous

carolou01 · Message par **carolou01** » 07/11/2007 - 13:22:36

Merci bongo 1981!!!

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