Mathématiques - Définition

Introduction

Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelles, basées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience mais ils en sont souvent inspirés notamment dans le cas des mathématiques classiques) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature ».

Étymologie

Le mot « mathématique » vient du grec, par l'intermédiaire du latin. Le mot μάθημα (máthēma) signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » ; il a donné naissance à l'adjectif μαθηματικός (mathematikos), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin (mathematicus) et dans les langues romanes par la suite (« mathématique » en français, matematica en italien, etc.), ainsi que dans de nombreuses autres langues.

La forme neutre de l'adjectif μαθηματικός a été substantivée en τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme plurielle, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicéron (mathematica) puis en français et dans certaines autres langues européennes. Le singulier (« la mathématique ») est parfois employé en français, mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'archaïsme ou de didactisme ».

Dans l'argot scolaire, le terme « mathématiques » est fréquemment apocopé en « maths ».

Domaines des mathématiques

Un découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles, établi en 1994, en est un exemple. Bien que formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.

Domaines fondamentaux

L'algèbre est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la théorie des groupes, de la théorie de Galois ou encore de la géométrie algébrique.

En un sens très restrictif, l'analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.

La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.

Les probabilités tentent en un sens large de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données déjà réalisées forme les statistiques.

Exemples de domaines transversaux

Charles Gustave Jacob Jacobi, connu pour ses développements en théorie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithmétique

De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :

• Les mathématiques discrètes (associées à l'essor de l'informatique) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes...)
• La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques, avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
• La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie et de l'algèbre. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche en 2009 en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.

• En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemples), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométriques, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de géométrie différentielle, etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
• La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
• La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au XIX^e siècle, avec notamment le théorème de Bézout. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique.
• La théorie des opérateurs relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreuses applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.

Mathématiques appliquées et mathématiques pures

Navstar-2 - La conquête aérospatiale : grande consommatrice de mathématiques appliquées.

Simulation numérique d'un crash d'une voiture. - L'analyse numérique : domaine applicatif des mathématiques.

On fait parfois la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées :

• Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt a priori pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. L'objet de la recherche mathématique peut ainsi être une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits, sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique, la généralisation d'un aspect d'une discipline ou la mise en évidence de liens entre diverses disciplines des mathématiques.
• Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie, astrophysique...), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.

En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche, sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. L'évolution des domaines et de leurs objets d'étude peut également contribuer à déplacer une éventuelle frontière ou notion de séparation. Selon une boutade de Ian Stewart, mathématicien pur, « La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une ».

Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nées à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).