Groupe de Lie - Définition

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Introduction

En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c'est-à-dire que chaque élément du groupe peut être approché d'aussi près que l'on veut par une suite d'autres éléments du groupe. Un groupe de Lie est en fait un peu plus qu'un groupe continu : il est en plus lisse, et on peut faire du calcul différentiel dessus. Ces groupes sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien norvégien Sophus Lie, qui les introduisit afin d'étudier certaines propriétés des équations différentielles.

Histoire

Sophus Lie lui-même considérait que la théorie des groupes continus était née lors de l'hiver 1873-1874, mais le biographe Hawkins suggère que la théorie est née des recherches effectuées par Lie durant les quatre années précédentes (de 1869 à 1873).

Une partie des idées initiales de Lie furent développées en collaboration avec Felix Klein, qu'il rencontrait quotidiennement durant les jours d'octobre des années 1869 à 1872, à Berlin d'abord, puis Paris, Gőttingen et Erlangen.

Les résultats de Lie furent publiés dans des journaux norvégiens lors de la décennie 1870, et son œuvre gagna rapidement le reste de l'Europe. En 1884, un jeune mathématicien allemand, Friedrich Engel travailla avec Lie à la création d'un exposé systématique de la théorie des groupes continus, lequel fut publié en trois volumes sous le titre Theorie der Transformationsgruppen, en 1888, 1890 et 1893.

Un développement important de la théorie fut ensuite réalisé par Wilhelm Killing. La généralisation par Elie Cartan, mena à la classification des algèbres de Lie semi-simples et aux travaux d'Hermann Weyl sur les représentations des groupes de Lie compacts.

La théorie des groupes de Lie fut exposée méthodiquement dans le langage mathématique moderne par Claude Chevalley.

Propriétés

Types de groupes de Lie

Les groupes de Lie sont classables selon leur propriétés algébriques (abélien, simple, semisimple, résoluble, nilpotent), ou bien topologiques (connexe, simplement connexe, compact).

Ils sont également usuellement classés en 4 types, représentés dans le tableau d'exemples plus bas :

  • Groupes de Lie réels, basés sur le groupe \mathbb R.
  • Groupes de Lie complexes, basés sur le groupe \mathbb C.
  • Groupes de Lie quaternioniques, basés sur le groupe des quaternions \mathbb H.
  • Groupes de Lie exceptionnels.

Homomorphismes et isomorphismes

Si G et H sont deux groupes de Lie (tous deux réels ou complexes), alors un homomorphisme de groupes de Lie f : G\rightarrowH est un homomorphisme de groupe qui est également une fonction différentiable ou holomorphe (il suffit en fait que f soit continue).

La composition de deux homomorphismes de groupes de Lie est un homomorphisme de groupes de Lie et la classe de tous les groupes de Lie est une catégorie dont les flèches sont les homomorphismes de groupes de Lie. Deux groupes de Lie sont dit isomorphes s'il existe entre eux un homomorphisme bijectif dont la réciproque est également un homomorphisme.

La classe des groupes de Lie réels ou complexes de dimension n identifiés à isomorphisme près est un ensemble.

Définitions

Une structure algébrique G est un groupe de Lie réel ou complexe lorsque :

  • G est une variété différentiable réelle ou complexe ;
  • G, munie de deux fonctions G×G\rightarrowG (multiplication) et G\rightarrowG (inversion), est un groupe ;
  • les applications de multiplication et d'inversion sont différentiables ou holomorphes.

Il est également possible de définir un groupe de Lie comme une variété différentielle munie d'opérations de groupe seulement continues. Cette définition est équivalente à la précédente et est une interprétation du 5e problème de Hilbert.

La dimension d'un groupe de Lie est définie comme sa dimension en tant que variété.

Il existe également une notion analogue de Groupe de Lie p-adique lorsque la variété différentielle sous-jacente est remplacée par un ensemble analytique p-adique. Ce sera le cas, par exemple, du groupe des points p-adiques d'un groupe algébrique.

Des premiers exemples simples

Un exemple simple est le groupe des matrices de rotation 2×2, noté SO(2,\mathbb R) :      \begin{bmatrix} \cos \lambda & -\sin \lambda \\ \sin \lambda & \cos \lambda \end{bmatrix}.

Il est paramétré par un seul angle λ : sa variété est donc unidimensionnelle (un cercle). C'est bien un groupe car l'inverse d'un élément de paramètre λ est donné par l'élément de paramètre −λ et le produit des éléments de paramètres λ et μ est donné par l'élément de paramètre λ+μ.

À l'inverse, \mathbb Z n'est pas un groupe continu, car il n'y a aucun élément entre 1 et 2.

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