Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.
Être non contradictoire apparaît comme essentiel à toute personne soucieuse de découvrir ce qu'est « la raison », et de ce que signifie pour elle être « raisonnable ».
La contradiction est une relation existant entre deux ou plusieurs termes ou deux ou plusieurs propositions dont l’un(e) affirme ce que l’autre nie : « A » et « non-A » sont contradictoires, les phrases « Tous les hommes sont barbus » et « Quelques hommes ne sont pas barbus » sont contradictoires.
Toutefois une unique phrase peut être en soit une contradiction ; pour la simple raison que deux phrases, qui se contredisent, peuvent toujours être réunies en un phrase par la conjonction « et ». On peut donc (également) définir une « contradiction » par :
En logique formelle (c.-à-d. lorsque la proposition est exprimée dans la langage formel des mathématiques). la phrase « A et non-A » est l'exemple le plus caractéristique de contradiction. En définitive, toute contradiction peut être reformulée sous cette forme.
C'est un théorème du calcul des propositions, nous pouvons dériver n'importe quoi d'une contradiction. La démonstration est la suivante
C'est l'explosion logique. Un système d'axiomes qui permet de démontrer un théorème qui est une contradiction permet de démontrer n'importe quoi (par exemple que 1=0, ou 1=1, ou 1=2, etc.). Un tel système d'axiomes n'a donc aucun intérêt.
« A et non-A » est une phrase fausse. Autrement dit, il est possible de démontrer à l'aide du calcul des propositions que le contraire d'une contradiction est toujours vrai. Ceci est utilisé dans le cadre du raisonnement par l'absurde. Ceci conduit également certain système formel (coq par exemple) à interdire le raisonnement par l'absurde pour ne pas générer de contradiction.
De manière simpliste, un paradoxe est une double contradiction : une contradiction est un paradoxe si sa contraposée (sa négation) est également une contradiction. En d'autres termes : « Un paradoxe est une phrase qui n'est par elle-même ni vrai ni fausse. ».
Dans le langage courant, la nature contradictoire d'une phrase devient subjective. Avant d'expliquer cela, précisons la définition (de manière un peu naïve) :
« par elle-même » signifie que l'on s'assurer (démontrer) la fausseté de la phrase sans faire appel à une affirmation ou une information complémentaire. Ainsi, par exemple, la phrase « le ciel est vert » n'est pas une contradiction, car établir sa fausseté nécessite l'observation du ciel (l'on dira alors que « le ciel est vert » contredit l'observation). En revanche « le ciel est bleu et vert » est une contradiction quelle que soit la couleur du ciel.
Ces propos sont critiquables : Il y a un nécessaire présupposé (donc des informations complémentaires) qui nous permet d'appréhender les notions de « ciel », « bleu », « vert ». Dans cet exemple, des présupposés (suffisant pour valider le propos) seraient :
Le premier présupposé est particulièrement récusable, car on peut juger que « le ciel n'est pas vert » découle de la définition du ciel ou est une vérité universellement admise. On peut également objecter, au second présupposé, que des objets peuvent être multicolores.
Ainsi, contrairement au langage formel, les présupposées du langage courant ne peuvent être considérés comme objectivement connus, ce qui laisse une part de flou dans tout propos.
L'esprit de contradiction est une attitude de l'interlocuteur qui consiste à pendre souvent (voire systématiquement) le contre-pied de son locuteur. Un sain raisonnement doit fatalement faire apparaitre des divergences dans les présupposés de chacun.
Nous nommerons « principe de contradiction » cette loi qui veut qu’on ne peut affirmer et nier le même terme ou la même proposition : « Il est impossible qu’un même attribut appartienne et n’appartienne pas en même temps et sous le même rapport à une même chose ». Assurément, une chose peut être blanche aujourd’hui ou d’une autre couleur demain. De même, cette chose est plus grande ou plus petite qu’une autre à un moment donné. Mais, il est impossible que ces déterminations apparaissent simultanément et s’appliquent du même point de vue à cette chose. Impossible donc qu’à la fois une chose soit et ne soit pas.