En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de appelé raison pour lequel :
On dit alors que les termes sont en " progression géométrique ".
Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans ou .
Exemple Si la raison et :
La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomène à croissance ou décroissance exponentielle et l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).
On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.
On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)
Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.
Si E est un corps et si est une suite géométrique de E de raison alors, pour tout :
Plus généralement, si la suite est définie sur et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :
Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme et par sa raison q.
Réciproquement, une suite définie sur par
est une suite géométrique de raison q.
On supposera et q non nul.
Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans .
Dans
Dans
Dans
On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif , ce qui permet de dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont quasiment confondues.
Illustration a = 1000 et t = 0,004, at = 4
n | suite arithmétique | suite géométrique |
0 | 1000 | 1000 |
1 | 1004 | 1004 |
2 | 1008 | 1008,016 |
3 | 1012 | 1012,048 |
4 | 1016 | 1016,1 |
5 | 1020 | 1020,2 |
6 | 1024 | 1024,2 |
7 | 1028 | 1028,3 |
8 | 1032 | 1032,5 |
9 | 1036 | 1036,6 |
10 | 1040 | 1040,7 |
11 | 1044 | 1044,9 |
12 | 1048 | 1049 |
Cette approximation permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre
Si ou et si est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout :