En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble G, avec G égal à E ou à F.
Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l’ensemble d’une structure algébrique. Les conditions vérifiées par les lois s’appellent les axiomes de la structure de E.
Une loi (de composition) * : E × F → G, avec G = E ou G = F, est une application de E × F dans G qui associe à chaque couple ( x, y ) de E × F, un élément de G noté habituellement " x * y " (au lieu de la notation fonctionnelle " * ( x, y ) ") et appelé composé de x et de y, ou encore produit de x et y.
x et y sont parfois qualifiés d’opérandes, car une loi n’est qu’un cas particulier d’opération.
G doit être égal à E ou à F. Plus précisément :
Il existe plusieurs notations pour les lois :
Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en algèbre générale; elles définissent les groupes, les monoïdes, les semi-groupes, les anneaux, etc.
La structure générale de magma est un ensemble muni d’une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l’addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d’un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives.
Des exemples de lois qui ne sont jamais commutatives sont la soustraction (notée -) ou la division (notée ÷ ou :).
Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l’extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi externe E × F → F peut être vue comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.