La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.
Soit un angle et sa bissectrice . Tout point de vérifie :
.
C'est-à-dire que tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant à ses côtés.
Soient et les projetés orthogonaux de respectivement sur et sur . On sait que et . Les triangles et sont des triangles rectangles respectivement en et . D'après les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on en déduit que
et Puisque est la bissectrice de , on a .
On en déduit que d'où le théorème.
Ce théorème peut également s'interpréter comme le fait que tout point de la bissectrice est le centre d'un cercle tangent simultanément aux deux droites. Réciproquement tout cercle tangent aux deux droites a son centre sur une des bissectrices.
Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont par définition les bissectrices des secteurs angulaires définis par les deux droites. Ce sont deux droites perpendiculaires. Elles sont également les deux axes de symétrie de la figure formée par les deux droites.
On appelle bissectrices d'un triangle les trois bissectrices des trois angles de ce triangle.
Ces bissectrices sont concourantes. Leur point commun est le centre d'un cercle tangent aux 3 côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Remarque: Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.
Voici une méthode de construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle.
Lorsque le plan est muni d'un repère direct , on appelle