Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :
avec l'action
et l'ensemble des paramètres du système.
Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre d'action et d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale ,et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.
Le concept de lagrangien fut historiquement introduit dans une reformulation de la mécanique classique, la mécanique lagrangienne. Dans ce contexte, le lagrangien vaut généralement l'énergie cinétique ôtée de l'énergie potentielle :
Le lagrangien d'une particule de masse m non relativiste dans un espace Euclidien à trois dimensions s'écrit :
où la dérivation temporelle est notée par un point au dessus de la quantité différentiée. Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent :
L'indice i = 1, 2, 3. Le calcul des dérivées donne :
Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent donc explicitement :
soit sous forme vectorielle :
Les approches lagrangienne et newtonienne sont donc équivalentes lorsque la force dérive d'un potentiel :
puisque la formulation de la deuxième loi de Newton dans un référentiel Galiléen s'écrit :
Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques (r,θ,φ), et le lagrangien :
Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :
Ici l'ensemble des paramètres se réduit au temps , et les variables dynamiques sont les trajectoires des particules.
Dans la théorie des champs, on distingue parfois le lagrangien L, dont l'intégrale sur le temps est l'action :
et la densité lagrangienne , qu'on intègre sur tout l'espace pour obtenir l'action :
Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatiale dans les index i ou dans les paramètres s pour écrire . Les théories quantiques des champs en physique des particules, comme l'électrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens , ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynman.
En général, en mécanique lagrangienne, le lagrangien vaut:
où T est l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle.
Etant donnée une particule chargée électriquement de masse m et charge q, et de vitesse dans un champ électromagnétique et de potentiel scalaire φ et de potentiel vecteur , l'énergie cinétique de la particule est:
et son énergie potentielle est:
où c est la vitesse de la lumière.
Le lagrangien électromagnétique est alors:
La densité lagrangienne pour un champ de Dirac est:
où ψ est un spineur, est son adjoint de Dirac, est la dérivée covariante de jauge, et est la notation de Feynman pour .
La densité lagrangienne en QED est:
où Fμν est le tenseur électromagnétique.
La densité lagrangienne en QCD est (lien) (lien) (lien)
où est la dérivée covariante de jauge en QCD, et Gαμν est le tenseur de la force du champ du gluon.
Soit M une variété de dimension n, et une variété de destination T. Soit l'espace de configuration de la fonction continue s de M dans T.
Avant tout donnons quelques exemples :
Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle , qu'on appelle l'action physique. Notons que c'est une application vers , et non vers , pour des raisons physiques.
Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires sur l'action. Si , on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien . En d'autres termes,
La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leur dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.
Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est être pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites, est l'espace des solutions physiques.
La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :
Notons qu'on retrouve la dérivée fonctionnnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.