Pendule double - Définition

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Présentation

Exercice classique de mécanique, il s'agit d'un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. On a donc deux tiges de longueur $l_1 \,$ et $l_2 \,$ , de masse nulle et deux masses $m_1\,$ et $m_2\,$ .

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne

L'énergie cinétique vaut :
$T=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 + 2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)]$
où $\theta_i\,$ est l'angle par rapport à la verticale et $v_i\,$ la vitesse du pendule $i\,$ .
L'énergie potentielle vaut :
$V=m_1gz_1+m_2gz_2\,$ ( $z_i\,$ étant l'altitude de la masse $i\,$ ), ou
$V=-(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)-m_2gl_2\cos(\theta_2)\,$ .
Le lagrangien vaut donc :
$L=T-V\,$ , soit
$L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2 +m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)+m_2gl_2\cos(\theta_2)$

En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1) $(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+ m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)=0$
(2) $l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+l_2\ddot{\theta}_2- l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+g\sin(\theta_2)=0$

Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.

Voir sur cette page une superbe simulation du pendule double.

Mise en équation utilisant l'approche newtonnienne

L'affixe de l'extrémité du premier pendule est $u_1=l_{1}e^{i\theta _{1}}\,$ et celle de l'extrémité du deuxième : $u=u_1+u_2\,$ où $u_2=l_{2}e^{i\theta _{2}}\,$ .
L'accélération de cette dernière vaut donc $\ddot{u}=\ddot{u}_1+\ddot{u}_2=l_{1}\left( i\ddot{\theta }_{1}-\dot{\theta }_{1}^{2}\right) e^{i\theta _{1}}+l_{2}\left( i\ddot{\theta }_{2}-\dot{\theta } _{2}^{2}\right) e^{i\theta _{2}}$ .

La relation fondamentale de la dynamique en $m_2\,$ permet de dire que $\ddot{u}-g$ est colinéaire à $e^{i\theta _{2}}$ , et que donc $(\ddot{u}-g)e^{-i\theta _{2}}$ est réel. L'écriture de la nullité de sa partie imaginaire donne l'équation (2) ci-dessus.

La relation fondamentale de la dynamique en $m_1\,$ s'écrit $t_1-t_2+m_1g=m_1\ddot{u}_1$ où $t_1\,$ est l'affixe de la tension de la première tige agissant sur $m_1\,$ et $t_2=m_2(\ddot{u}-g)$ celle de la deuxième tige agissant sur $m_2\,$ .

$t_1=t_2-m_1g+m_1\ddot{u}_1=(m_1+m_2)(\ddot{u}_1-g)+m_2\ddot{u}_2$ étant colinéaire à $e^{i\theta _{1}}$ , l'écriture de la nullité de la partie imaginaire de $((m_1+m_2)(\ddot{u}_1-g)+m_2\ddot{u}_2)e^{-i\theta _{1}}$ donne l'équation (1).

Pendule à entraînement circulaire uniforme

Une autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors $\dot{\theta_1}=\omega$ et l'équation différentielle du mouvement, isssue de (2), s'écrit, en posant $\theta_2=\theta\,$ :

$l_2\ddot{\theta}=- l_1\omega^2\sin(\theta-\omega t)-g\sin\theta=-(1+\frac{l_1\omega^2}{g}\cos\omega t)g\sin\theta+l_1\omega^2\sin\omega t \cos\theta$ .

Pour de petites oscillations et $\frac{l_1\omega^2}{g}<<1\,$ , l'équation se linéarise en $l_2\ddot{\theta}+g\theta=l_1\omega^2\sin(\omega t)$ et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :

Mais si dans ce cas on choisit $\omega=\sqrt{g/l_2}\,$ , on obtient un phénomène de résonnance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :

On constate que le pendule fait le tour si $l_2/l_1<4,3\,$

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pendule simple

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