Pendule de Huygens - Définition

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En physique, le dispositif appelé pendule de Huygens, en l'honneur du physicien Christiaan Huygens, est constitué d'un point matériel M, pesant, se déplaçant sur une parabole d'équation z= x^2/2p\,, dans un plan tournant à la vitesse angulaire \omega\,, d'axe vertical.

Il ne mérite de fait pas son appellation de " pendule " puisqu'il n'oscille pas. Néanmoins il fournit un résultat intéressant pour la compréhension du pendule conique.

Présentation

Huygens a imaginé une came d'équation :

z_p = {3\over 2} (px^2)^{1/3}\,,

c'est-à-dire l'équation de la développée de la parabole.

On constate que si le point dépasse une certaine vitesse angulaire critique, donnée par :

\omega_0 = \sqrt{ \frac{g}{p} }

il se retrouve soit en bas, soit en haut du dispositif. Le cas d'équilibre indifférent est atteint quand la vitesse angulaire de son déplacement est égale à cette vitesse critique.

Explications

On considère les énergies potentielles des forces en présence dans le référentiel tournant :

E_p=\frac {mgr^2}{2p} ;
  • l'énergie potentielle dont dérive la force d'entraînement (axifuge, ou " centrifuge ") :
E_e=-m\omega^2 \frac{r^2}{2}.

Le mobile M se situe, à l'équilibre, au point où l'énergie totale E=E_p+E_e\, atteint un extrémum, c'est-à-dire au point où sa dérivée s'annule :

\frac{dE}{dr}=0 \Leftrightarrow \frac{mgr}{p}-m\omega_0^2 r = 0 \Leftrightarrow  r=0

C'est-à-dire lorsque :

\omega_0 = \sqrt{ \frac{g}{p} }.

Lorsque r=0\,, M se trouve en bas de la parabole. Lorsque \omega = \omega_0\, toute la parabole se trouve à l'équilibre, M reste immobile, là où il se trouvait lorsque la vitesse critique a été atteinte. Le cas où M se trouve en haut est un cas hors équilibre, dû aux contraintes physiques posées par la came.

Observation

On peut observer la parabole de Huygens avec un liquide :

  • on emprisonne de l'eau colorée entre deux plans transparent verticaux et très proches, pour obtenir un film de liquide (qui ne remplit pas entièrement l'espace entre les deux plans) ;
  • on met l'ensemble en rotation autour d'un axe vertical à la vitesse \omega_0\, quelconque (fixée par l'expérimentateur).

On remarque alors que la surface du liquide se courbe, pour adopter la forme d'une parabole, d'équation identique à celle de la came de Huygens, avec le paramètre p\, valant \frac{g}{\omega_0^2}.

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