Tenseur de Ricci - Définition et Explications

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Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...)

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Tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est...)
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Dans le cadre de la théorie de la Relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ d'étude, tant théorique qu'expérimental.) générale, le champ de gravitation (La gravitation est le phénomène d'interaction physique qui cause l'attraction réciproque des corps massifs entre eux, sous l'effet de leur masse. Il s'observe au quotidien en raison de l'attraction...) est interprété comme une déformation de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la...). Cette déformation est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci, dont le nom a été attribué d'après son inventeur, Gregorio Ricci-Curbastro.

Le tenseur de Ricci est un tenseur d'ordre 2, obtenu comme la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des...) du tenseur de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de...) complet. On peut le considérer comme le Laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes.

Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) d'Einstein, équation principale de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux...). C'est aussi un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) fondamental en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante...), le domaine de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) qui essaye de décrire les propriétés géométriques des objets de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) n.

Construction mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....)

Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann R, qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la Relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.

Il peut s'exprimer notamment à partir des coefficients de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point (Graphie) à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se...) mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.

D'un point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein[1].

Les coefficients de Christoffel s'expriment par :

{\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta} =     \frac{1}{2} g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta} +    \partial_{\beta}g_{\alpha\delta} -    \partial_{\delta}g_{\alpha\beta})

Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de mesurer les...), c'est-à-dire le chemin le plus court entre deux points de l'espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments,...) - qui n'est pas toujours une ligne droite :

\frac{d^2x^\alpha}{ds^2}+{\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \frac{dx^\beta}{ds}\frac{dx^\gamma}{ds}=0

Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel :

{R^\delta}_{\alpha\beta\gamma} =  \partial_{\alpha} {\Gamma^\delta}_{\beta\gamma} -   \partial_{\beta}  {\Gamma^\delta}_{\alpha\gamma} +  {\Gamma^\delta}_{\alpha\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\beta\gamma} -  {\Gamma^\delta}_{\beta\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\gamma}

Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction :

R_{\alpha\beta}={R^\gamma}_{\alpha\beta\gamma}

Par la suite, la courbure scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction :

R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}^{}

La divergence du tenseur d'Einstein R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R est nulle :

\left[R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R\right]_{\alpha\beta} = 0

Cette équation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le...) covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les informations permettant à une personne de s'identifier auprès d'un...) le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

Notes et références

  1. Cette convention stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point...) que les indices répétés seront des indices de sommation : x_{\mu}x^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}x_{\mu}x^{\mu}
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