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L'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est...), conçue par le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la...) autrichien Erwin Schrödinger (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (12 août 1887 à Vienne - 4 janvier 1961)...) en 1925, est une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en physique quantique (La physique quantique est l'appellation générale d'un ensemble de théories physiques...) non-relativiste. Elle décrit l'évolution dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) d'une particule massive (Le mot massif peut être employé comme :) non-relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il...) en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) classique.
Au début du XXe siècle, il était devenu clair que la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) présente une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon (En physique des particules, le photon (souvent symbolisé par la lettre γ — gamma)...), soit comme une onde électromagnétique (L'onde électromagnétique est un modèle utilisé pour représenter les...). Louis de Broglie (Louis Victor de Broglie, prince, puis duc de Broglie (15 août 1892 à Dieppe,...) proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale que les électrons devaient pouvoir produire des interférences comme la lumière, ce qui fut vérifié ultérieurement par l'expérience. Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) E et de quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse...) p une fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) ν et une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...) λ :
L'équation de Schrödinger, trouvée par le physicien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) qui généralise l'approche de de Broglie ci-dessus aux particules massives non-relativistes soumises à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) dérivant d'une énergie potentielle, dont l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie...) totale est classiquement :
Le succès de l'équation, déduite de cette extension par utilisation du principe de correspondance (En physique, le principe de correspondance, proposé pour la première fois par Niels Bohr...), fut immédiat quant à l'évaluation des niveaux quantifiés d'énergie de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge...) dans l'atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que...) d'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.), car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, etc.
L'interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) correcte de la fonction d'onde de Schrödinger ne fut donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) qu'en 1926 par Max Born (Max Born (11 décembre 1882 à Breslau, Empire allemand -...). En raison du caractère probabiliste qu'elle introduisait, la mécanique ondulatoire (La mécanique ondulatoire est la forme initiale de la mécanique quantique avant que...) de Schrödinger suscita initialement de la méfiance chez quelques physiciens de renom comme Albert Einstein (Albert Einstein (né le 14 mars 1879 à Ulm, Wurtemberg, et mort le...), pour qui " Dieu ne joue pas aux dés ".
Le schéma conceptuel utilisé par Schrödinger pour dériver son équation repose sur une analogie formelle entre l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...) et la mécanique :
Ce parallèle avait été noté dès 1834 par Hamilton, mais celui-ci n'avait alors par de raison de douter de la validité de la mécanique classique. Après l'hypothèse de de Broglie (En physique, l'hypothèse de de Broglie est l'affirmation que toute matière est dotée...) de 1923, Schrödinger s'est dit[1] : l'équation de l'eikonale étant une approximation de l'équation d'onde de l'optique ondulatoire, cherchons l'équation d'onde de la "mécanique ondulatoire" (à construire) dont l'approximation soit l'équation de Hamilton-Jacobi. Ce qu'il a fait, d'abord pour une onde stationnaire (Une onde stationnaire est le phénomène résultant de la propagation simultanée dans des...) (E = cte), puis pour une onde quelconque[2].
Remarque : Schrödinger avait en fait commencé par traiter le cas d'une particule relativiste - comme d'ailleurs de Broglie avant lui[3]. Il a alors obtenu l'équation connue aujourd'hui sous le nom de Klein-Gordon, mais son application au cas du potentiel coulombien donnant des niveaux d'énergie incompatibles avec les résultats expérimentaux de l'atome d'hydrogène[4], il se serait rabattu sur le cas non-relativiste, avec le succès que l'on connait.
Une fois établi le parallèle entre l'optique et la mécanique hamiltonienne (La mécanique hamiltonienne, inventée par Hamilton en 1833, est une reformulation de la...) - i.e. la partie non-triviale du raisonnement -, la fin de la dérivation est relativement élémentaire. En effet, l'équation d'onde satisfaite par l'amplitude spatiale d'une onde monochromatique de pulsation ω fixée dans un milieu d'indice n lentement variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) s'écrit :
On introduit le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'onde k dans le milieu d'indice n, tel que :
On obtient alors l'équation de Helmholtz :
La longueur d'onde dans le milieu est définie par :λ = 2π / k. L'équation de Helmholtz (L'équation de Helmholtz (d'après le physicien Hermann von Helmholtz) est une équation aux...) se réécrit :
On utilise alors la relation de de Broglie pour une particule non-relativiste, pour laquelle la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) de mouvement p = m v :
Or, l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) s'écrit pour une particule non-relativiste :
d'où l'équation de Schrödinger stationnaire :
En introduisant le quantum (En physique, un quantum (mot latin signifiant « combien » et qui s'écrit...) d'action , on la met sous la forme habituelle :
Il ne reste plus qu'à réintroduire le temps t en explicitant la dépendance temporelle pour une onde monochromatique, puis en utilisant la relation de Planck-Einstein :
On obtient finalement l'équation de Schrödinger générale :
En mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...), l'état à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) t d'un système est décrit par un élément de l'espace complexe de Hilbert — est utilisée la notation bra-ket de Paul Dirac (Paul Adrien Maurice Dirac (8 août 1902 à Bristol, Angleterre - 20 octobre 1984 à...). représente les probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.
L'évolution temporelle de est décrite par l'équation de Schrödinger :
|
où
Il est à noter que, contrairement aux équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...) gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Notons également que cette équation ne se démontre pas : c'est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davisson et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.
L'équation de Schrödinger étant une équation vectorielle on peut la réécrire de façon équivalente dans une base particulière de l'espace des états. Si on choisit par exemple la base correspondant à la représentation de position définie par
alors la fonction d'onde satisfait à l'équation suivante
où est le laplacien.
Sous cette forme on voit que l'équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles faisant intervenir des opérateurs linéaires, ce qui permet d'écrire la solution générique comme somme de solutions particulières. L'équation est dans la grande majorité des cas trop compliquée pour admettre une solution analytique de sorte que sa résolution est approchée et/ou numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...).
Les opérateurs apparaissant dans l'équation de Schrödinger sont des opérateurs linéaires ; il s'ensuit que toute combinaison linéaire (En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre...) de solutions est solution de l'équation. Cela mène à favoriser la recherche de solutions qui ont un grand intérêt théorique et pratique : à savoir les états qui sont propres de l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) hamiltonien.
Ces états sont donc solutions de l'équation aux états et valeurs propres,
qui porte parfois le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps. L'état propre est associé à la valeur propre En , scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) réel, énergie de la particule dont est l'état.
Les valeurs de l'énergie peuvent être discrètes comme les solutions liées d'un puits de potentiel (Un puits de potentiel désigne, en physique, le voisinage d'un minimum local d'énergie...) (par ex. niveaux de l'atome d'hydrogène) ; il en résulte une quantification des niveaux d'énergie. Elles peuvent aussi correspondre à un spectre continu comme les solutions libres d'un puits de potentiel (par ex. un électron ayant assez d'énergie pour s'éloigner à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) du noyau de l'atome d'hydrogène).
Il arrive souvent que plusieurs états correspondent à une même valeur de l'énergie : l'on parle alors de niveaux d'énergie dégénérés.
D'une façon générale, la détermination de chacun des états propres de l'hamiltonien, , et de l'énergie associée, fournit l'état stationnaire correspondant, solution de l'équation de Schrödinger :
Une solution de l'équation de Schrödinger peut alors s'écrire très généralement comme une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de tels états :
Selon les postulats de la mécanique quantique,
La recherche des états propres de l'hamiltonien est en général complexe. Même le cas analytiquement soluble de l'atome d'hydrogène ne l'est rigoureusement sous forme simple que si l'on néglige le couplage avec le champ électromagnétique (Un champ électromagnétique est la représentation dans l'espace de la force...) qui va permettre le passage des états excités, solutions de l'équation de Schrödinger de l'atome, vers le fondamental.
Certains modèles simples, bien que non tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) à fait conformes à la réalité, peuvent être résolus analytiquement et s'avèrent très utiles :
Dans les autres cas, il faut faire appel aux diverses techniques d'approximation :
La généralisation au domaine relativiste mena à l'équation de Klein-Gordon, puis à l'équation de Dirac ; cette dernière établit naturellement l'existence du spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque...) et des antiparticules. Cependant, il n'existe aucune interprétation entièrement cohérente de ces équations d'ondes relativistes dans le cadre d'une théorie décrivant une seule particule ; le cadre pertinent pour le théorique quantique relativiste est la théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...).