Théorie quantique des champs - Définition

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La théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...) est l'application des concepts de la physique quantique (La physique quantique est l'appellation générale d'un ensemble de théories physiques...) aux champs. Issue de la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...) relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée incohérente, la théorie quantique des champs fournit un cadre conceptuel largement utilisé en physique des particules (La physique des particules est la branche de la physique qui étudie les constituants...), en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) condensée, et en physique statistique (La physique statistique a pour but d'expliquer le comportement et l'évolution de systèmes...).

La première théorie quantique des champs à avoir vu le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...), connue sous le nom d'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier...), est aujourd'hui une des théories physique ayant le plus beau succès dans sa confrontation aux résultats expérimentaux dans le cadre du modèle standard notamment grâce à la mesure de haute précision de la constante de structure fine (La constante de structure fine, représentée par la lettre grecque α, est une...).

Historique

La théorie quantique des champs naît en 1927 avec l'article fondateur de l'électrodynamique (L'électrodynamique est la discipline physique qui étudie et traite des actions dynamiques entre...) quantique par Dirac : " La théorie quantique de l'émission et de l'absorption du rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de...) ". Le formalisme est ensuite développé et discuté dans les années 1930 par les théoriciens, ceux-ci se heurtant à un problème récurrent : l'apparition systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour...) d'infinis lors des calculs de grandeurs physiques censées être mesurables et finies. Cette difficulté ne fut entièrement surmontée qu'en 1948 avec l'invention d'une procédure systématique, la renormalisation (En théorie quantique des champs (ou QFT), en mécanique statistique des champs, dans la...), due principalement au japonais Tomonaga et aux américains Schwinger et Feynman.

Les succès de l'électrodynamique quantique, théorie de jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par...) abélienne, a conduit les théoriciens des années 1960 et 1970 à appliquer les concepts de la théorie quantiques des champs aux théories de jauge non abéliennes, donnant finalement naissance à l'actuel modèle standard de la physique des particules.

Par ailleurs, Kadanoff a introduit à la fin des années 1960 l'idée que les transitions de phases décrites par la physique statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...) présentaient des propriétés d'universalité et d'invariance d'échelles. Wilson eut alors l'idée d'appliquer les méthodes de renormalisation de la théorie quantique des champs à la description des phénomènes critiques. [1]

Champs quantiques

La façon dont la théorie des champs fut introduite par Dirac à partir des particules élémentaires est connue pour des raisons historiques sous l'appelation de seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) quantification.

Il faut mentionner deux sources de confusions:

  • les champs ne sont pas liés à la dualité onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) corpuscule.

les particules élémentaires possèdent déjà cette dualité dans l'acceptation du terme de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) classique. Ce que l'on entend par champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) est un concept qui permet la création ou l'annihilation de particules en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point (Graphie) de l'espace. Comme tout système quantique, un champ quantique a un hamiltonien et obéit à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Schrödinger :

H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle

(en théorie des champs, le formalisme lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permet...) est plus facile à utiliser que son équivalent le hamiltonien)

  • avec la seconde quantification, l'indiscernabilité des particules s'exprime en termes de nombre d'occupation.

Supposons que N = 3, avec une particule dans l'état φ1 et deux dans l'état φ2. la façon d'écrire la fonction d'onde est:

\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \phi_1(r_1) \phi_2(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_1(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_2(r_2) \phi_1(r_3) \right]

alors qu'avec la seconde quantification, cette fonction est simplement

|1, 2, 0, 0, \cdots \rangle

Quoique la différence soit minime, la deuxième permet d'exprimer facilement des opérateurs création et annihilation , qui rajoutent ou enlèvent des particules à l'état.

Ces opérateurs création et annihilation très similaires à ceux définis dans oscillateur harmonique quantique (Un oscillateur est un système périodique dans le temps. L'harmonicité indique que...), qui en mécanique quantique crée ou détruit des quanta d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...).

Ces operateurs créent et font disparaître des particules dans un état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il...) donné.

Par exemple, l'operateur a2 a l'effet suivant:

a_2 | 1, 2, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \sqrt{2}
a_2 | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle
a_2 | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle \equiv \quad 0

(Le facteur √2 normalise la fonction d'onde.)

Enfin, il faut introduire " les opérateurs de champ " de création ou d'annihilation d'une particule en un point de l'espace.

De même que pour une seule particule la fonction d'onde s'exprime avec son moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.), de même les opérateurs de champ peuvent s'exprimer à l'aide des transformées de Fourier.

Par exemple:\phi(\mathbf{r}) \equiv \sum_{i} e^{i\mathbf{k}_i\cdot \mathbf{r}} a_{i} qu'il ne faut pas confondre avec une fonction d'onde est l'opérateur de champ d'annihilation de boson (Les bosons représentent une classe de particules qui possèdent des propriétés...)

Les Hamiltoniens, en physique des particules sont écrits

H = \sum_k E_k \, a^\dagger_k \,a_k

comme une somme d'opérateurs création et annihilation de champ.

Cela exprime un champ de bosons libres où Ek est l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...). En fait, cet Hamiltonien est utilisé pour décrire des phonons.

Champ & particule ?

Introduction : le problème de la localisation

L'expérimentateur qui enregistre un " clic " dans son détecteur (Un détecteur est un dispositif technique (instrument, substance, matière) qui change...) aimerait relier cet évènement, qu'il interpète comme la détection d'une " particule " relativement bien localisée dans l'espace (et dans le temps), au champ quantique et à ses excitations : c'est le problème de la localisation. Ce problème, qui admet une réponse simple en mécanique quantique non-relativiste, est hautement non-trivial en théorie quantique relativiste.

Localisation en mécanique quantique non-relativiste

Dans le cadre de la mécanique quantique non-relativiste, on dispose d'un opérateur position \ \hat{\mathrm{r}} \ hermitien qui permet de préciser de façon entièrement cohérente la localisation d'une particule dans un état | \,  \psi \, \rangle :

  • la position moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par : \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}} \ | \,  \psi \, \rangle ;
  • l'écart quadratique moyen (dispersion) Δr autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de cette position moyenne est défini par :

\Delta \mathrm{r}^2 \ = \ \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}}^2 \ | \,  \psi \, \rangle \ - \ \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}} \ | \,  \psi \, \rangle^2

La particule quantique est d'autant mieux localisée en position que cette dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un...) est petite ; la mécanique quantique n'interdit d'ailleurs pas de la prendre nulle, auquel cas la localisation spatiale est parfaitement réalisée. Bien évidemment, il y a alors une dispersion maximale en quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse...) pour satisfaire les inégalités de Heisenberg.

Opérateur position en mécanique quantique relativiste ?

En mécanique quantique relativiste, les transformations de Lorentz mélangent espace et temps : si le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) position classique était associé à un opérateur position quantique "à la Heisenberg", il devrait aussi exister un opérateur temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...).

Or, un vieil argument de Pauli suggère[2] qu'il n'existe pas d'opérateur temps hermitien en mécanique quantique. En effet, en mécanique hamiltonienne (La mécanique hamiltonienne, inventée par Hamilton en 1833, est une reformulation de la...), temps et énergie sont conjugués : l'opérateur hamiltonien est le "générateur infinitésimal" des translations dans le temps (par le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Noether). Par analogie avec le couple position/impulsion satisfaisant [\hat{\mathrm{x}}^i, \, \hat{\mathrm{p}}_j ] = i \ \hbar \ \hat{\mathrm{\delta}}_j^i, on serait alors amené à écrire : [\hat{\mathrm{H}},\hat{\mathrm{t}}] = (\pm) \ i \ \hbar \ \hat{\mathrm{1}}. Du coup, l'opérateur temps deviendrait réciproquement le générateur infinitésimal des translations en énergie, et le spectre d'énergie serait le continuum \mathbb R entier, ce qui signifie que l'énergie ne serait plus bornée inférieurement. Or la mécanique quantique a précisément été inventée pour décrire la stabilité des atomes, possédant un état fondamental (En physique quantique, les états fondamentaux d'un système sont les états quantiques de plus...) d'énergie finie.

La solution consiste à abandonner la notion d'opérateur position, et donc à passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) aux champs, fonctions définies sur l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...).

Système élémentaire au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de Wigner

Localisation douce : l'opérateur position de Newton-Wigner (1949)

En 1949, Newton et Wigner[3] ont malgré tout réussi à construire un nouvel "opérateur position" pour les particules massives (de spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque...) arbitraire). Modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi...) quelques hypothèses générales "raisonnables", il sont arrivés à un opérateur non-local dans l'espace physique. Les "états localisés" associés à cet opérateur ne sont pas des distributions de Dirac. L'état localisé autour de l'origine possède à grande distance une décroissance exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...) avec une échelle caractéristique égale à la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde Compton de la particule massive (Le mot massif peut être employé comme :). Il est donc impossible de localiser une particule, ni ponctuellement, ni " strictement " (au sens de : dans un compact). De plus, ces états localisés ne sont pas invariants par transformation de Lorentz : une particule localisée dans un référentiel ne l'est pas nécessairement dans un autre. Enfin, la construction de Newton-Wigner s'étend aux particules de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) nulle de spin 0 (décrites par l'équation de Klein-Gordon) et de spin 1/2 (décrites par l'équation de Dirac), mais hélas pas au photon (En physique des particules, le photon (souvent symbolisé par la lettre γ — gamma)...), de spin 1.

Impossibilité d'une localisation stricte ?

Le théorème de Malament (1996)

Théorème de Malament[4]

Le théorème de Clifton et Halvorson (2002)

Théorème de Clifton et Halvorson[5]

Notes

  1. référence, citation ou lien
  2. Eric Galapon a récemment remis en cause la validité du raisonnement de Pauli ; cf. e.g. : quant-ph/9908033 ; quant-ph/0111061 ; quant-ph/0303106.
  3. T. D. Newton and E. P. Wigner ; Localized States for Elementary Systems, Review of Modern Physics 21 (1949), 400 - 406. pdf.
  4. David B Malament ; In Defense of Dogma -- Why There Cannot Be a Relativistic Quantum (En physique, un quantum (mot latin signifiant « combien » et qui s'écrit...) Mechanical Theory of (Localizable) Particles, dans : R Clifton (éditeur) ; Perspectives on Quantum Reality, Kluwer (1996). pdf.
  5. Hans Halvorson & Rob Clifton ; No place for particles in relativistic quantum theories ?, Philosophy of Science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...) 69 (2002) 1-28. ArXiv (arXiv (à prononcer comme on prononce « archive » en anglais, avec le...)  :quant-ph/0103041.

Bibliographie

Textes en français

  • Laverne, Alain ; Rayonnement quantique, cours donné en 1994 par Alain Laverne (Université Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région...) 7) sur la quantification du rayonnement électromagnétique (Un rayonnement électromagnétique désigne une perturbation des champs électrique...) et le concept de photon. 240 pages.
  • Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935....), John S. ; Théorie quantique des champs expérimentale, traduction française par Alain Laverne (Université Paris 7) d'un cours d'introduction donné en 1977 par John S. Bell (Physique Théorique, CERN) aux physiciens expérimentateurs. 41 pages.
  • Delamotte, Bertrand ; Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations & groupe de Poincaré , cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique (La physique théorique est la branche de la physique qui étudie l’aspect...) et Hautes Energies, Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la...) Paris 7) au DEA "Champs, Particules, Matières" . 127 pages.
  • Laloë, Franck ; Cours sur les symétries, cours pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné par Franck Laloë (Laboratoire de Physique Atomique, ENS Ulm, Paris) au DEA de Physique Quantique.
  • Zinn-Justin, Jean ; Des infinis de la mécanique quantique relativiste au groupe de renormalisation, texte d'une conférence donnée par Jean Zinn-Justin (Service de Physique Théorique du CEA) lors de la 5me rencontre "Physique et Interrogations Fondamentales" (PIF V) intitulée : L'élémentaire et le complexe. Universel et singulier (III) (27 octobre 1999, Collège de France (Le Collège de France, situé au no 11 place Marcelin-Berthelot dans le quartier latin...), Paris). Publié par : Michel Crozon (Michel Crozon est un physicien français, directeur de recherche émérite au CNRS.) & Yves Sacquin (éditeurs), EDP Sciences (2001).
  • Le Bellac, Michel ; Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, InterEditions/Editions du CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand...) (1988), ISBN 2-86883-359-4. Réédité par EDP Sciences.

Textes en anglais

  • Wilczek, Frank ; Quantum Field Theory, Review of Modern Physics 71 (1999) S85-S95. Article de revue écrit par un Maître de la QCD, prix Nobel 2003. ArXiV : hep-th/9803075
  • Zee, Anthony ; Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press (2003), ISBN 0-691-01019-6. La meilleure introduction à la théorie quantique des champs. Pédagogique et même divertissant. Aspects de la théorie de la matière condensée comme de celle des hautes énergies.
  • Ryder, Lewis H. ; Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1985), ISBN 0-521-33859-X Ouvrage remarquable, qui complète à merveille le précédent pour la théorie quantique des champs appliquée à la physique des particules.
  • Peskin, M and Schroeder, D. ;An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995), ISBN 0201503972. Pas à pas détaillé.
  • Weinberg, Steven ; The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press (1995). Traité monumental en 3 volumes par un expert du domaine, prix Nobel 1979.
  • Loudon, Rodney ; The Quantum Theory of Light (Oxford University Press, 1983), ISBN 0198511558
  • Siegel, Warren ; Fields. ArXiV : arXiv:hep-th/9912205). Atypique.
  • 't Hooft, Gerard ; The Conceptual Basis of Quantum Field Theory, Handbook of the Philosophy of Science, Elsevier (à paraître). Article de revue écrit par un Maître des théories de jauge, prix Nobel 1999. pdf.
  • Srednicki, Mark ; Quantum Field Theory
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