État quantique
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En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information possible sur le système, dans le but de prévoir les résultats des expériences que l'on peut réaliser. Une différence fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) entre la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui...) classique et la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation...) tient à la façon dont est décrit l'état d'un système physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...). On a coutume de dire qu'un système quantique peut être dans plusieurs états à la fois.

La notion d'état en mécanique classique

En mécanique classique, le système le plus élémentaire est un point (Graphie) matériel de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre...) m. L'état de ce système est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à...) décrit par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) position \vec{r_{M}} et de la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des...) \vec{p_{M}}=m.\vec{v_{M}} du point matériel. Autrement dit, l'état du système est repéré par un point dans un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) 6 (3 pour le vecteur position et 3 pour le vecteur vitesse). Si l'on connait l'état du système à un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) donné, ainsi que les forces qui agissent sur lui par la suite, l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) fondamentale de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) nous permet de calculer l'état du système à un instant ultérieur.

L'espace des états dépend du système considéré : si l'on considère non plus un mais N points matériels, l'état du système sera repéré par un point dans un espace vectoriel de dimension 6N, car il faut garder la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du...) de la position et de l'impulsion de chacun des N points matériels ; et dans le cas d'un milieu continu, comme un fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu...) ou un solide déformable, l'état du système est décrit par un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de déformation, un champ de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence...) massique et un champ de vecteurs vitesse (On distingue :). Là encore, l'état d'un système à l'instant t + τ peut se déduire de l'état du système à l'instant t.

La notion d'état en mécanique quantique - état et mesure

Pour un système quantique, il est nécessaire de distinguer les grandeurs physiques observables de l'état du système proprement dit. En mécanique classique, cette différence n'existe pas : \vec r et \vec p représentent aussi bien l'état du système que les grandeurs physiques position et impulsion. Ainsi, si l'on veut connaître l'état d'un système classique, il suffit de mesurer les deux grandeurs physiques impulsion et position, et l'état est totalement déterminé. Pour un système plus complexe qu'un point matériel, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de grandeurs à mesurer est plus important, mais il est en principe toujours possible de déterminer l'état du système. À l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...), en mécanique quantique, l'état d'un système physique n'est en général jamais totalement mesurable.

Considérons par exemple le système quantique le plus simple possible, c’est-à-dire une particule sans spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et...). Ce système est très similaire au point matériel de la mécanique classique. En effet les grandeurs physiques observables, ou plus simplement les observables sont les mêmes dans les deux cas : la position, l'impulsion, l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps...), l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle, l'énergie totale,… Supposons que notre particule soit préparée dans un état i que l'on souhaite déterminer. On peut concevoir une expérience permettant de déterminer la position, par exemple en éclairant la particule, qui donnera comme résultat : 'la particule est en \vec r_1'. On pourrait alors en conclure que la position d'une particule préparée dans l'état i est \vec r_1. Cependant, si l'on réitère l'expérience sur la même particule à nouveau préparée dans l'état i, nous obtiendrons une autre position \vec r_2\neq \vec r_1 ! Il en serait de même avec toute autre grandeur observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un paramètre physique, ou plus généralement...).

Histogramme : statistique des résultats de N=5000 mesures de la position d'un ensemble de particules toutes préparées dans le même état. Courbe : densité de probabilité de présence mise à la même échelle.
Histogramme (L'histogramme est le graphe permettant de représenter l'impact de diverses variables continues.) : statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la...) des résultats de N=5000 mesures de la position d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de particules toutes préparées dans le même état. Courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) : densité de probabilité (En mathématiques statistiques, on appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X réelle continue une fonction f) de présence mise à la même échelle.

Au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), les physiciens ont acquis la conviction que ce fait expérimental n'était pas dû à une incertitude expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et politique. ...) lors de la mesure, ou encore à une préparation aléatoire d'une fois sur l'autre (dans un état i'\neqi), mais plutôt qu'il n'était pas possible de déterminer l'état par une mesure, aussi complète et précise soit-elle.

Il n'est cependant pas vain d'espérer gagner de l'information sur l'état i de la particule. On peut y parvenir en effectuant un grand nombre de mesures telles que celle décrite ci-dessus, où la même particule est préparée un grand nombre de fois dans l'état i et sa position est à chaque fois mesurée. En traitant statistiquement les valeurs \vec r_1, \; \vec r_2,\dots obtenues, il apparaît que certaines sont obtenues plus fréquemment que d'autres. Ainsi, si la valeur obtenue à l'issue de chaque mesure individuelle n'est pas connue, il est possible de faire des prévisions probabilistes sur les résultats de mesure. Un état détermine donc la distribution de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un...) associée à chacune des observables du système, et réciproquement il est déterminé si l'on sait prédire les distributions de probabilité expérimentales. Il est alors possible de définir des grandeurs statistiques telles que la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans...) de la position ou encore l'écart type (En mathématiques, l'écart type est une quantité réelle positive, éventuellement infinie, utilisée dans le domaine des probabilités pour caractériser la répartition d'une variable aléatoire autour de sa moyenne....) de la position (notées <\vec r> et \Delta\vec r respectivement dans le cas de la position, et < O > et ΔO dans le cas d'une observable O quelconque, ΔO étant également appelée incertitude sur la grandeur O lorsque la particule est dans l'état i).

Mesure de la position d'un ensemble de particules dans une superposition d'états.
Mesure de la position d'un ensemble de particules dans une superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position, quantité de mouvement etc.)) d'états.

Un cas particulier intéressant correspond à des états pour lesquels l'incertitude ΔO = 0 pour une des observables O. On retrouve alors la prévision de la mécanique classique : dans un de ces états, la mesure de O donnera toujours le même résultat. Pour distinguer ces états là des autres états, ils sont appelés états propres de l'observable O. Les états propres de l'énergie totale présentent l'intérêt de ne pas évoluer au cours du temps : si une particule est dans un état d'énergie donnée, elle restera dans cet état par la suite.

Enfin, un dernier cas particulier permet de préciser ce qui est sous-entendu lorsque l'on dit qu'une particule est dans deux états simultanément. On peut imaginer un état où la distribution de probabilité de la grandeur O est piquée sur deux valeurs. En fait, la particule n'est en réalité que dans un seul état, mais cet état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information possible sur le système, dans le but de prévoir les résultats...) donnera deux résultats possibles lors d'une mesure de O.

Représentation mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures...) d'un état

En mécanique quantique, on représente l'état d'un système par un vecteur dans un espace vectoriel hilbertien ; l'espace à considérer dépendant du système étudié. La notation bra-ket (La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état quantique...) permet de représenter les états quantiques de manière concise et simple.

Lorsque l'on associe deux systèmes pour en faire un seul, l'espace des états de ce système composé est le produit tensoriel des espaces des états associés aux deux sous-systèmes.

On retrouve le déterminisme de la mécanique classique dans l'évolution de l'état quantique. C'est-à-dire que l'on peut calculer de manière déterministe comment l'état d'un système va évoluer au cours du temps (grâce à l'équation de Schrödinger), sauf lorsqu'il y a une mesure de l'état de notre système, auquel cas l'évolution n'est plus déterministe, mais probabiliste.

Il s'agit là d'une différence majeure avec la mécanique classique, qui découle du postulat de réduction du paquet d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte...) et qui permet de donner une interprétation probabiliste aux états quantiques.

Notons qu'il existe d'autres représentations mathématiques de l'état quantique d'un système, la matrice densité étant une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de...) de la représentation exposée ici.

Interprétation probabiliste des états quantiques

Supposons qu'un système quantique se trouve dans un état |\psi \rangle et que l'on veuille mesurer une observable \hat{A} du système (énergie, position, spin, ...). Les vecteurs propres de \hat{A} sont notés |a_i \rangle et les valeurs propres correspondantes αi, que l'on supposera non dégénérées pour simplifier. Comme le postule le principe de réduction du paquet d'onde, la mesure de A ne peut donner comme résultat que l'un des αi, et la probabilité d'obtenir le résultat αi est {|\langle a_i|\psi \rangle|}^2. Supposons que la mesure donne pour résultat αp, le système est passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une échelle des temps centrée sur le...) lors de la mesure et de façon instantanée de l'état |\psi \rangle à l'état |a_p \rangle.

On voit dès lors l'interprétation que l'on peut faire des produits scalaires \langle a|\psi \rangle, où |a \rangle est un état quelconque : en effet, en supposant l'existence d'une observable dont |a \rangle serait un des états propres, on peut dire que la probabilité de trouver le système dans l'état |a \rangle (sous-entendu : si on faisait la mesure) est {|\langle a|\psi \rangle|}^2. Pour cette raison, le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À...) est appelé amplitude de probabilité.

Le fait que la mesure d'une des propriétés du système change l'état de ce système fait que l'on ne peut pas cloner l'état quantique inconnu d'un système. En effet, on pourrait penser qu'en prenant deux systèmes faits des mêmes atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est...) et en mesurant l'état dans lequel est le système 1, on peut ensuite placer le système 2 dans le même état que le système 1 et ainsi en avoir une copie conforme, mais il faudrait pour cela effectuer plusieurs mesures sur le système 1, dont l'état sera irrémédiablement changé dès la première mesure. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...) de non clonage (Le clonage désigne principalement deux processus. C'est d'une part la multiplication naturelle ou artificielle à l'identique d'un être vivant c'est-à-dire avec conservation exacte du même...) est la base des techniques de cryptographie quantique (La cryptographie quantique est une tentative de mise en œuvre des prédicats de la mécanique quantique afin d'assurer la confidentialité, l'intégrité...). La téléportation quantique (La téléportation quantique est un protocole de communications quantiques consistant à transférer l’état quantique d’un système vers un autre système similaire et séparé spatialement du...), quant à elle, cherche à transporter de façon destructive l'état du système 1 sur le système 2.

Superposition d'états, intrication et paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente,...) de la mesure

Si |a > et |b > sont deux états possibles du système, i.e. appartiennent à l'espace des états, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'un espace vectoriel fait que toute combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de ces états sera un état possible du système. Pour illustrer l'étrangeté de ces superpositions d'états, Erwin Schrödinger (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (12 août 1887 à Vienne - 4 janvier 1961) est un physicien autrichien.) a avancé le paradoxe du chat (Le chat domestique (Felis silvestris catus) est un mammifère carnivore de la famille des félidés. Il est l’un des principaux animaux de compagnie et compte aujourd’hui une cinquantaine de races...) de Schrödinger : que penser d'un chat que l'on aurait mis dans la superposition d'état

\sqrt{2}/2 . | \textit{vivant} \rangle + \sqrt{2}/2 . | \textit{mort} \rangle \ ?

Est-ce le fait qu'il y ait un observateur présent pour tenter de faire une mesure qui réduit le paquet d'onde instantanément à un et un seul des résultats possibles de la mesure ? Quelle est la particularité qui fait qu'un système quantique n'obéisse plus à l'équation déterministe de Schrödinger lors de l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) avec un appareil de mesure (ou plus généralement avec un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) macroscopique) ?

Bref, le principe de réduction du paquet d'onde dérange et contribue beaucoup à la réputation de la mécanique quantique d'être contre-intuitive. Après avoir suivi l'école de Copenhague (L'école de Copenhague ou interprétation de Copenhague est un courant de pensée qui présente la mécanique quantique comme un simple instrument de prédiction, et pour qui la prise en compte de ses...) pendant des dizaines d'années, la majorité des physiciens pense aujourd'hui que l'intrication et la décohérence jouent un grand rôle dans l'explication du phénomène de réduction du paquet d'onde. Expérimentalement, il devient possible aujourd'hui de réaliser les expériences de pensée du début du XXe siècle et des groupes de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...) tentent de réaliser de petits " chats de Schrödinger ", c'est-à-dire des objets mésoscopiques placés dans une superposition d'états pour étudier leur évolution. Pour décrire l'état quantique d'un objet intriqué, l'approche présentée ici à partir de la notation bra-ket n'est pas suffisante, et il convient d'utiliser le formalisme de la matrice densité.

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