Équation de Dirac - Définition et Explications


Articles de
physique quantique
Théorie quantique
Électrodynamique quantique
Mécanique quantique
Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des champs
Modèle standard
Statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces...) quantique
Bose-Einstein
Fermi-Dirac
Maxwell-Boltzmann
Physiciens
Bohr - de Broglie
Bose - Einstein
Fermi - Dirac
Heisenberg - Pauli
Schrödinger - Feynman

L'équation de Dirac (L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron.) est une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) formulée par Paul Dirac (Paul Adrien Maurice Dirac (8 août 1902 à Bristol, Angleterre - 20 octobre 1984 à Tallahassee, Floride, États-Unis) est un physicien et mathématicien...) en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques,...) relativiste de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de...).

Explication

Cette équation décrit le comportement de particules élémentaires de spins demi-entiers, comme les électrons. Dirac cherchait à transformer l'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique...) afin de la rendre invariante par l'action du groupe de Lorentz, en d'autre termes à la rendre compatible avec les principes de la relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité...).

Cette équation prend en compte de manière naturelle la notion de spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même...) introduite peu de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) avant et permit de prédire l'existence des antiparticules. En effet, outre la solution correspondant à l'électron, il découvre une nouvelle solution correspondant à une particule d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) négative et de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu...) opposée à celle de l'électron.

En 1932 Carl Anderson, alors qu'il étudiait des photons (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette interaction se...) de haute énergie en provenance de l'espace, constate que l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) de ces photons avec la chambre à bulles (Une chambre à bulles est un détecteur de particules qui est formé d'une cuve contenant (généralement) de l'hydrogène liquide. La chambre étant...) produit une particule qui s'identifie à la particule conjecturée par Dirac, le positron (En physique des particules, le positron ou positon est l'anti-particule associée à l'électron. Il possède une charge électrique de +1 (contre -1 pour l'électron), le même spin et la même masse que...).

Il est par ailleurs tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à fait étonnant que l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de Dirac, découvert pour des raisons absolument physiques (et théoriques) aura en mathématiques un glorieux avenir par son usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) indispensable dans l'un des plus profonds résultats du siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...), le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) d'Atiyah et Singer démontré dans les années 1960.

Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...)

Sa formulation exacte est :

i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) = \left(mc^2\alpha_0 -i\hbar c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j}\, \right) \psi (\mathbf{x},t)

m est la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du...) de la particule, c la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est une constante physique, et...), \hbar la constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille des quanta. Elle joue un rôle central dans la mécanique quantique et a été nommée d'après le...) réduite, x et t les cooordonnées dans l'espace et dans le temps, et ψ(x, t) une fonction d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière. Une onde...) à quatre composantes. (La fonction d'onde doit être formulée par un spineur à quatre composants, plutôt que par un simple scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.), du fait des exigences de la relativité restreinte.) Enfin \alpha_i, \ i=0,1,2,3 sont des matrices de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 4\times 4 agissant sur le spineur \psi\, et appelées matrices de Dirac. En terme des matrice de Pauli \vec\sigma on peut écrire les matrices de Dirac, dans la représentation de Dirac (d'autres sont possibles, comme la représentation de Weyl ou la représentation de Majorana), sous la forme

\begin{matrix} \alpha_0=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right) &,& \vec\alpha=\left(\begin{matrix}0&\vec\sigma\\\vec\sigma&0 \end{matrix}\right) \end{matrix}

Il est commun en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un...) quantique de considérer l'opérateur quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent...) \vec p\equiv -i\hbar\vec\nabla\, et dans ce cas l'équation de Dirac se réécrit de façon condensée

i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) = \left(mc^2\alpha_0 + c \vec\alpha.\vec p\, \right) \psi (\mathbf{x},t)

De plus, il est naturel de chercher une formulation covariante, ce qu'on fait en posant γ0 = γ0 = α0 et γi = − γi = α0αi, auquel cas on a (en adoptant les conventions c=1 et \hbar=1) une notation encore plus compacte :

\left(\displaystyle{\not}p-m\right)\psi(\mathbf{x},t)=0

où l'on a adopté la notation de Dirac \displaystyle{\not}a=a^\mu\gamma_\mu

Cet article vous a plus ? Partagez-le sur les réseaux sociaux avec vos amis !
Page générée en 1.607 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique