Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires

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Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.

Théorème direct

Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de ce troisième côté.

Formulation graphique

Ce théorème peut se présenter graphiquement de la manière suivante :

Formulation en français

Si une droite passe par le milieu des deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

La longueur joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale a la moitié de celle du troisième côté.

Preuve

Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu’on veut prouver parallèle à (BC).

Soit K le symétrique de J par rapport à I, on a alors I milieu de [JK] et .

Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme.
Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB].

KBCJ n’est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan par rapport à (KJ), B comme symétrique de A par rapport à I, C comme symétrique de A par rapport à J).

Or si un quadrilatère non-croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Donc KBCJ est un parallélogramme.

Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC).
Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : .

Remarque : On évite la complication du quadrilatère croisé avec une preuve vectorielle :

Théorème réciproque

C'est un cas particulier du théorème direct de Thalès.