Image directe - Définition

L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :

,

ou .

Si A=X, alors f(X) est appelée l'image de (l'application) f.

On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie de X, avec l'image par f d'un élément x de X.

Exemple : Considérons l'application , définie par

L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} tandis que l'image de f est {a,c,d}.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties A₁ et A₂ de X,

L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général. Considérons l'unique application . L'image par f de toute partie non vide est le singleton {0}.

.

• pour toute partie B de Y, .

.

• pour toute partie A de X,

.

• Pour toute famille de parties de X,

• Pour toute famille de parties de X,