Ensemble fini - Définition
En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.
On note alors le nombre d'éléments de E, ou la cardinalité de E :
- Card(E) = n
- #E = n
- |E| = n
Par convention, l'ensemble vide a pour cardinal 0.
E est fini au sens de Dedekind s’il n'est pas infini, c'est-à-dire si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties strictes (ou encore : toute injection de E dans lui-même est surjective). E fini implique E fini au sens de Dedekind, mais la réciproque nécessite l'axiome du choix.
Caractérisation
Nous noterons | [a;b] | l'ensemble
![[a ; b] \cap \mathbb{Z}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/1/1dbb4ac7db3bfd84e1ca783320882848_ae191863d3dcb00dfdf6311b8d9f91e9.png)
Si F est en bijection avec E, un ensemble fini non vide, alors F est non vide, et card(E) = card(F).
- En effet, E est fini, donc en notant n son cardinal, il existe
![f : |[ 1 ; n ]| \rightarrow E](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/a/a48dcdc0bdc508daa449be8fe568888c_726329b3250b448bb57d2d098db3e29b.png)
- La composée de bijections est une bijection, donc
- Donc F est fini car en bijection avec les n premiers entiers naturels, et card(F) = n.
![f : |[ 1 ; n ]| \rightarrow E](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/a48dcdc0bdc508daa449be8fe568888c_726329b3250b448bb57d2d098db3e29b.png)
Parties
Soit
- Si n = 1, alors E = {a}, donc
- Si
![h : |[1 ; n ]| \rightarrow E](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/f/f6ab7aa0da351a16b9fa7451e6cffd2d_557c64302ccfe8859f44a1c118b4c317.png)
- Si h(n) = a, alors
![\tilde h : |[1 ; n-1 ]| \rightarrow E \backslash \{a\}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/f/ff0d390a357ca0a01b04547238a6deb3_0fa63c122b3b79893d69a6c8e0d71da2.png)
- Si
- On considère
![\begin{matrix} \sigma : & |[1 ; n]| \rightarrow |[1 ; n ]| & \ \\ \ & \sigma(k) = k & \forall k \in |[1 ; n ]| \backslash \{l ; n \} \\ \ & \sigma(l) = n & \ \\ \ & \sigma(n) = l & \ \end{matrix}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/9/91cfd25624bd7e56fac7514a9c7711e3_9dd15bfcdab3cbadf9ad24b19ed063e2.png)
-
![\sigma \circ \sigma = \operatorname{id}_{|[1 ; n ]|}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/e/ef5ba8d65a2efb85689693ffc5ad0503_858b175752114a6f4152d87f7abd29e2.png)
-
![h \circ \sigma : |[1 ; n]| \rightarrow E](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/7/776d4ea5790a3bf251637e83c5d7851d_acd3b36e74105bf70243eed94d93ebc4.png)
- Si h(n) = a, alors
![h : |[1 ; n ]| \rightarrow E](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/f/f6ab7aa0da351a16b9fa7451e6cffd2d_557c64302ccfe8859f44a1c118b4c317.png)
![\tilde h : |[1 ; n-1 ]| \rightarrow E \backslash \{a\}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/f/ff0d390a357ca0a01b04547238a6deb3_0fa63c122b3b79893d69a6c8e0d71da2.png)
![\begin{matrix} \sigma : & |[1 ; n]| \rightarrow |[1 ; n ]| & \ \\ \ & \sigma(k) = k & \forall k \in |[1 ; n ]| \backslash \{l ; n \} \\ \ & \sigma(l) = n & \ \\ \ & \sigma(n) = l & \ \end{matrix}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/91cfd25624bd7e56fac7514a9c7711e3_9dd15bfcdab3cbadf9ad24b19ed063e2.png)
![\sigma \circ \sigma = \operatorname{id}_{|[1 ; n ]|}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/ef5ba8d65a2efb85689693ffc5ad0503_858b175752114a6f4152d87f7abd29e2.png)
![h \circ \sigma : |[1 ; n]| \rightarrow E](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/776d4ea5790a3bf251637e83c5d7851d_acd3b36e74105bf70243eed94d93ebc4.png)
Toute partie d'un ensemble fini est finie.
- La démonstration se fait par récurrence avec ce qui précède.
Opérations
La réunion d'ensembles finis est finie. Plus précisément, si A et B sont deux ensembles finis, alors
